Question

直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得到△COD，拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)．

(1) 寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；

(2) 求經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3) 在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖1

Answer 1

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因?yàn)閽佄锞�y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三點(diǎn)，

所以  解得 

所以拋物線的解析式為y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)．

（3）如圖2，直線BG的解析式為y＝3x＋1，直線CD的解析式為y＝3x＋3，因此CD//BG．

因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，3x＋1)，那么．

Rt△COD的兩條直角邊的比為1∶3，如果Rt△ABQ與Rt△COD相似，存在兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，．解得．所以，．

②當(dāng)時(shí)，．解得．所以，．

圖2                         圖3