Question

（2002•上海模擬）兩圓外切，它們的外公切線互相垂直，如果大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，那么

r

R

=

3-2

2

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意作出圖形，然后連接O₁A，O₂D，O₁C，過點D作DF∥O₁O₂，易證得四邊形O₁O₂DF是平行四邊形，即可求得AF=R-r，DF=R+r，由切線的性質(zhì)可得∠ACO₁=45°，易得△ADF是等腰直角三角形，即可得DF=

2

AF，繼而求得

r

R

的值．

解答：解：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切，AD，BE分別是外公切線，且AD⊥BE于點C，
連接O₁A，O₂D，O₁C，過點D作DF∥O₁O₂，
∴O₁A⊥AD，O₂D⊥AD，
∴O₁A∥O₂D，
∴四邊形O₁O₂DF是平行四邊形，
∴DF=0₁0₂=R+r，O₁F=O₂D=r，
∴AF=O₁A-O₁F=R-r，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO₁=45°，
∴∠ADF=∠ACO₁=45°，
∴∠AFD=∠ADF=45°，即△AFD為等腰直角三角形，
∴DF=

2

AF，
∴R+r=

2

（R-r），
∴R=（3+2

2

）r，
∴

r

R

=

1

3+2 2

=3-2

2

．
故答案為：3-2

2

．

點評：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．