Question

如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為，直線與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為(4,1)，⊙B與x軸相切于點M。

（1）求點A的坐標及∠CAO的度數(shù)；

（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，同時，若直線繞點A順時針勻速旋轉(zhuǎn)，當⊙B第一次與⊙O相切時，直線也恰好與⊙B第一次相切，見圖（2）求B1的坐標以及直線AC繞點A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

（3）若直線不動，⊙B沿x軸負方向平移過程中，能否與⊙O與直線同時相切。若相切，說明理由。

 

Answer 1

.解： （1）A（，0）

　　　　 ∵ C（0，）. ∴ OA=OC

∵ OA⊥OC， ∴∠CAO=45°

（2） 如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時，直線l旋轉(zhuǎn)到l1恰好與⊙B₁ 第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O，B1N.

則MN=t，O B₁= ， B₁N=1，B₁N⊥AN.

∴ON=1，∴MN=3，即t=3

連接B₁A，B₁P，則B₁P⊥AP，B₁P= B1N，∴∠PA B₁=∠NA B₁.

∵OA=O B₁=，∴∠A B₁O=∠NA B₁. ∴∠PA B₁＝∠A B₁O. ∴PA∥B₁O.

在Rt△NO B₁中，∠B₁ON＝45° ∴∠PAN＝45° ∴∠1＝90°.

∴直線AC繞點A平均每秒旋轉(zhuǎn)30°　　　

（3） 能，設(shè)⊙B與⊙O第二次相切時⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E，

作OH⊥AC于H，則四邊形B2EHO為平行四邊形，則B₂E=OH=1，故此時⊙B與直線同時相切