三等分任意角是一個作圖難題，在距第一次提出這個問題兩千年之后，這個問題才被證實用尺規(guī)作圖（用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖）無法解決．現(xiàn)在有不少人創(chuàng)造了各種各樣的輔助工具，用來解決尺規(guī)作圖無法解決的三等分任意角的問題．
如圖所示就是一個用來三等分任意角的工具及其使用示意圖．
（1）制作該工具時BE所在的直線、點C應分別滿足什么條件？使用時應注意些什么？
（2）你能說出該工具三等分任意角的道理嗎？

【答案】分析：（1）由線段垂直平分線的性質，角平分線的性質可知，BE垂直平分AC，點C為半圓的圓心；
（2）根據(jù)垂直平分線的點到線段兩端點距離相等，構造等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質可知EB為角平分線，由圓的性質可知CB=CF，可知C在角平分線上．
解答：解：
（1）BE垂直平分AC，C是BD的中點；角的頂點落在BE上，使角的一邊經過點A，另一邊于半圓相切．（3′）
（2）如圖，設被平分的角頂點為O點，
∵BE垂直平分AC，∴OA=OC，∴∠AOB=∠BOC，
∵C是BD的中點，∴CB=CF，且BC⊥OB，CF⊥OF，
∴∠BOC=∠FOC，
∴該工具能三等分任意角．
點評：本題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線性質的運用．關鍵是運用兩個性質得到相等角．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（1）“三等分角”是數(shù)學史上一個著名問題，但數(shù)學家已經證明，僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”．但對于特定度數(shù)的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺規(guī)進行三等分的．如圖a，∠AOB=90°，我們在邊OB上取一點C，用尺規(guī)以OC為一邊向∠AOB內部作等邊△OCD，作射線OD，再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE，則射線OD、OE將∠AOB三等分．仔細體會一下其中的道理，然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需寫作法，但需保留作圖痕跡，允許適當添加文字的說明）
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（2）數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法（如圖c）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=
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x
的圖象交于點P，以P為圓心、2OP長為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=
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∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：
①設P（a，
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a
）、R（b，
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b
），求直線OM對應的函數(shù)關系式（用含a、b的代數(shù)式表示）．
②分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=
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∠AOB．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數(shù)學家阿基米德就設計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖①）；設所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=
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∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規(guī)作圖中直尺只能用來連線的規(guī)定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規(guī)作圖．
（1）動手實踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標明相應字母；
（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

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科目：初中數(shù)學 來源：2010年江蘇省無錫市江南中學中考數(shù)學二模試卷（解析版） 題型：解答題

（1）“三等分角”是數(shù)學史上一個著名問題，但數(shù)學家已經證明，僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”．但對于特定度數(shù)的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺規(guī)進行三等分的．如圖a，∠AOB=90°，我們在邊OB上取一點C，用尺規(guī)以OC為一邊向∠AOB內部作等邊△OCD，作射線OD，再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE，則射線OD、OE將∠AOB三等分．仔細體會一下其中的道理，然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需寫作法，但需保留作圖痕跡，允許適當添加文字的說明）

（2）數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法（如圖c）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=的圖象交于點P，以P為圓心、2OP長為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：
①設P（a，）、R（b，），求直線OM對應的函數(shù)關系式（用含a、b的代數(shù)式表示）．
②分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數(shù)學家阿基米德就設計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖①）；設所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=數(shù)學公式∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規(guī)作圖中直尺只能用來連線的規(guī)定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規(guī)作圖．
（1）動手實踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標明相應字母；
（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

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科目：初中數(shù)學 來源：2013年5月中考數(shù)學模擬試卷（10）（解析版） 題型：解答題

三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數(shù)學家阿基米德就設計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖①）；設所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規(guī)作圖中直尺只能用來連線的規(guī)定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規(guī)作圖．
（1）動手實踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標明相應字母；
（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

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