Question

(6分)如圖，在菱形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，EF⊥AC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

小題1: (1)DE和BF相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；
小題2: (2)連接AF、BE，四邊形AFBE是平行四邊形嗎?說(shuō)明理由．

Answer 1

小題1:(1)相等，連接BD，證明四邊形DEFB是平行四邊形，則BF=DE=AE
小題2:(2)是平行四邊形，理由是AE平行且等于BF

分析：
（1）設(shè)AB、EF相交于G，連接BD，根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直可得BD⊥AC，然后求出EG∥BD，判斷出EG是△ABD的中位線(xiàn)，從而求出AG=BG，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AEG=∠BFG，利用“角角邊”證明△AEG和△BFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF，從而求出DE=BF；
（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形解答。
解答：

（1）DE=BF．理由如下：如圖。
設(shè)AB、EF相交于G，連接BD，
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EG∥BD，
∵E是AD中點(diǎn)，
∴EG是△ABD的中位線(xiàn)，
∴AG=BG，
又∵AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
在△AEG和△BFG中，∠AEG=∠BFG、∠AGE=∠BGF、AG=BG，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AE=BF，
∵E是AD中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∴DE=BF。
（2）四邊形AFBE是平行四邊形。
理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AE∥BF，
又∵AE=BF，
∴四邊形AFBE是平行四邊形。
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形的是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)。