Question

如果拋物線y＝＋2(m－1)x＋m＋1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，OA的長是a，BO的長是b．

(1)求m的取值范圍；

(2)若a∶b＝3∶1，求m的值，并寫出此時(shí)拋物線的解析式；

(3)設(shè)(2)中的拋物線與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是M，設(shè)AC與BM交于N點(diǎn)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)在(3)中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△POA與△NOA的面積比為3∶2．若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)，則，是方程－2(m－1)x－(m＋1)＝0的兩個(gè)根． 因?yàn)?img align="absmiddle"　　 SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30B0/0064/0056/548f601b7d9aa60f52fec29dd17bccd6/C/Image24361.gif">＜0＜，所以－(m＋1)＝＜0，解得m＞－1． (2)因?yàn)閍∶b＝3∶1，OA＝a，BO＝b，所以可設(shè)＝3k，＝－k(k＞0) 　 　即消去k得－7m＋2＝0． 　解得m＝或m＝2． 　因?yàn)閗＞0，而當(dāng)m＝時(shí)，k＝－1＜0， 　所以m＝舍去，所以m＝2，此時(shí)拋物線解析式為y＝－＋2x＋3． 　(3)y＝－＋2x＋3＝－＋4，所以頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，4)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)． 　直線BM的方程為y＝2x＋2，直線AC的方程為y＝－x＋3． 　 所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為()． (4)假設(shè)存在P點(diǎn)，使＝3∶2，則 　 　＋2x＋3＝－4 　－2x－7＝0，解得x＝1±2 　所以存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(1，4)，(1＋2，－4)，(1－2，－4)．