Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

3

4

x+6交x軸于點A，交y軸于點B．點P，點Q同時從原點出發(fā)作勻速運動，點P沿x軸正方向運動，點Q沿OB→BA方向運動，并同時到達點A．點P運動的速度為1厘米/秒．
（1）求點Q運動的速度；
（2）當點Q運動到線段BA上時，設點P運動的時間為x（秒），△POQ的面積為y（平方厘米），那么用x的代數(shù)式表示AQ=

 

，并求y與x的函數(shù)關系式；
（3）若將（2）中所得函數(shù)的自變量x的取值范圍擴大到任意實數(shù)后，其函數(shù)圖象上是否存在點M，使得點M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個交點所組成的三角形面積等于△AOB的面積？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為直線y=-34x+6交x軸于點A，交y軸于點B，所以可求出A（8，0），B（0，6），進而求出線段OA=8，0B=6，AB=10，利用速度=路程÷時間即可解決問題；
（2）AQ=10+6-2X=16-2X，要求y與x的函數(shù)關系式，可作QE⊥x軸于點E，則QE∥y軸，得到△AQE∽△ABO，進而可得到QE：6=AQ：AB，QE=

3

5

AQ；又因y=

1

2

•OP•QE代入相關數(shù)據(jù)即可求解；
（3）可設M（a，b），令y=0，則可求出函數(shù)圖象與x軸的交點（0，0），（8，6），利用點M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個交點所組成的三角形面積等于△AOB的面積，可得到|b|×

1

2

×8=

1

2

×6×8，b=±6，然后分情況討論：當b=6時，6=-

3

5

x 2+

24

5

x；所以x=4±

6

；當b=-6時，-6=-

3

5

x 2+

24

5

x；所以x=4±

26

，所以M（4±

6

，6），（4±

26

，-6）．

解答：解：（1）∵直線y=-34x+6交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A（8，0），B（0，6）
∴OA=8，0B=6，AB=10
∴點Q運動的速度=（6+10）÷（8÷1）=2厘米/秒；

（2）AQ=10+6-2X=16-2X，
作QE⊥x軸于點E，則QE∥y軸，
∴△AQE∽△ABO
∴QE：6=AQ：AB
∴QE=

3

5

AQ
∴y=

1

2

•OP•QE=

1

2

•x•

3

5

（16-2x）=-

3

5

x 2+

24

5

x；

（3）設M（a，b）
令y=0，則0=-

3

5

x 2+

24

5

x
∴x=0或x=8
即函數(shù)圖象與x軸交于（0，0），（8，6）
∵點M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個交點所組成的三角形面積等于△AOB的面積
∴|b|×

1

2

×8=

1

2

×6×8
∴b=±6
當b=6時，6=-

3

5

x 2+

24

5

x，所以x=4±

6

；
當b=-6時，-6=-

3

5

x 2+

24

5

x，所以x=4±

26

．
所以M（4±

6

，6），（4±

26

，-6）．

點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用方程、相似三角形的性質即可解決問題．