Question

已知AB=2

3

，∠ABC=60°，D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥BC，垂足為E，四邊形DEFG是正方形，點(diǎn)F在射線BC上，連接AG并延長交BC于點(diǎn)H．
（1）求DE的取值范圍；
（2）當(dāng)DE在什么范圍取值時(shí)，△ABH為鈍角三角形；
（3）過B、A、G三點(diǎn)的圓與BC相交于點(diǎn)K，過K作這個(gè)圓的切線KL與DG的延長線相交于點(diǎn)L．若GL=1，這時(shí)點(diǎn)K與點(diǎn)F重合嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)D與B重合時(shí)，DE最小為0，當(dāng)D與A重合時(shí)，DE最大，可根據(jù)AB和∠B的度數(shù)用正弦函數(shù)求出DE的最大值，即可得出DE的取值范圍；
（2）要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠BAH是鈍角時(shí)，此時(shí)DE的最小值就應(yīng)該是∠BAH=90°時(shí)的值，DE的最大值就是（1）中求得的DE的最大值，當(dāng)∠BAH=90°時(shí)，可用DE在直角三角形BDE和ADG中分別表示出AD，BD，然后根據(jù)AB的值求出DE的值，也就求出了∠BAH是鈍角時(shí)，DE的取值范圍；
②當(dāng)∠AHB為鈍角時(shí)，此時(shí)DE的最大值就應(yīng)該是H與F重合時(shí)DE的值，參照上面的方法求出DE的值，也就求出了∠AHB是鈍角時(shí)DE的取值范圍，
然后結(jié)合（1）中DE的取值范圍就能得出三角形ABH是鈍角三角形時(shí)DE的范圍；
（3）假設(shè)他們重合，此時(shí)四邊形AGFB就是圓的內(nèi)接四邊形，那么外角∠GFC=∠=90°，這種情況和（2）中①求DE最小值時(shí)的情況完全一樣，我們已經(jīng)得出了此時(shí)DE，BE的值，那么就求出了BF，GF，DG的長，然后我們通過構(gòu)建相似三角形來判斷GL是否等于1，連接BG后我們發(fā)現(xiàn)弦切角∠LKG=∠GBK，因此三角形GKL與BFG相似，那么可得出BF、GF、GL的比例關(guān)系，根據(jù)求出的BF、GF的值即可求出GL的值，看看是否與已知的條件相符即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，AB=2

3

，
∴AE=DE=AB•sin∠ABE=2

3

•sin60°=2

3

×

3

2

=3，
當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，DE=0，
∴DE的取值范圍是：0＜DE＜3；

（2）設(shè)BE=x，Rt△BDE中，
∵∠ABE=60°，則BD=2x，DE=

3

x，
分兩種情況：
①若∠BAH=90°，如圖1
在Rt△ADG中，∠ADG=∠ABE=60°，DG=DE=

3

x
∴AD=

3

2

x，又AB=AD+BD=2

3

，
∴2x+

3

2

x=2

3

，x=

16 3 -12

13

，
∴DE=

3

x=

48-12 3

13

，
即當(dāng)

48-12 3

13

＜DE＜3時(shí)，△ABH為鈍角三角形．
②若∠AHB=90°，如圖2，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合．
在Rt△ADG中，∠ADG=∠ABE=60°，DG=DE=

3

x，
∴AD=2

3

x，又AB=AD+BD=2

3

，
∴2x+2

3

x=2

3

∴x=

3- 3

2

，
∴DE=

3

x=

3 3 -3

2

，
則當(dāng)0＜DE＜

3 3 -3

2

時(shí)，△ABH為鈍角三角形．
綜上，當(dāng)

48-12 3

13

＜DE＜3或0＜DE＜

3 3 -3

2

時(shí)，△ABH為鈍角三角形；

（3）當(dāng)GL=1時(shí)，點(diǎn)K與點(diǎn)F不重合，理由如下：
解：當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖3，
∵四邊形ABKG內(nèi)接于圓，
∴∠A+∠BKG=180°，
∵∠BKG=90°，
∴∠A=90°，
∴此時(shí)即為（2）中①的情形，仍然設(shè)BE=x，則DE=GK=EK=

3

x，
∴BK=BE+EK=x+

3

x=（

3

+1）x，
在（2）①中已求得：x=

16 3 -12

13

．
連接BG，∵KL切圓于點(diǎn)K，
∴∠1=∠2，
又∵∠KGL=∠BKG=90°，
∴△GKL∽△KBG，
∴

GL

GK

=

GK

BK

，
∴GL=

GK2

BK

=

( 3 x)2

( 3+1 )x

=

3 3 -3

2

x=

3 3 -3

2

﹒

16 3 -12

13

≠1，
∴當(dāng)GL=1時(shí)，點(diǎn)K與點(diǎn)F不重合．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形以及相似三角形的判斷和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，由于涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，此題比較難．