Question

（1998•南京）已知：如圖，點(diǎn)P在∠AOB的邊OA上．
（1）作圖（保留作圖痕跡）
①作∠AOB的平分線(xiàn)OM；
②以P為頂點(diǎn)，作∠APQ=∠AOB，PQ交OM于點(diǎn)C；
③過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB，垂足為點(diǎn)D．
（2）當(dāng)∠AOB=30°時(shí)，求證：PC=2CD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的作法以及作一角等于已知角進(jìn)而得出圖形即可；
（2）利用在直角三角形中30度所對(duì)邊等于斜邊的一半得出即可．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OB于點(diǎn)F，
∵∠APC=∠AOB，
∴PC∥OB，
∴∠PCO=∠POC，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOC=∠MOB，
∴∠POC=∠PCO，
∴OP=PC，
∵∠AOB=30°，∠PFO=90°，
∴PF=

1

2

OP，
∵PC∥OB，PF⊥OB，CD⊥BO，
∴PF=DC，
∴DC=

1

2

OP=

1

2

PC，
即PC=2CD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了角平分線(xiàn)的作法以及作一角等于已知角以及到角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)以及30度所對(duì)邊等于斜邊的一半得出是解題關(guān)鍵．