Question

用兩個全等的正方形ABCD和CDFE拼成一個矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，且將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE，EF相交于點G，H時，如圖甲，通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結(jié)論并證明你的結(jié)論；
（2）當直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長線，EF的延長線相交于點G，H時（如圖乙），你在圖甲中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證CG=HE，來得出BG=FH的結(jié)論，那么關(guān)鍵是證明三角形DCG和DHE全等，已知的條件有DC=DF，一組直角，而通過同角的余角相等我們可得出∠GDC=∠HDF，由此可構(gòu)成兩三角形全等的條件，因此可得出GC=FH，進而可得出BG=EH
（2）結(jié)論仍然成立，也是通過證明三角形FDH和三角形DCG全等來得出結(jié)論的，即可得FH=CG，已知EF=BC，那么就能得出BG=EH．
解答：解：（1）BG=EH．
∵四邊形ABCD和CDFE都是正方形，
∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠FDH+∠HDC=90°，∴∠CDG=∠FDH，
在△CDG和△FDH中

∴△CDG≌△FDH（ASA），
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

（2）結(jié)論BG=EH仍然成立．
同理可證△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BC+CG=EF+FH，
∴BG=EH．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)所求條件來確定出自己要求證的全等三角形是解題的關(guān)鍵．然后看缺什么條件再證什么條件即可．