【題目】如圖已知點(diǎn)A (﹣2,4)和點(diǎn)B (1,0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上.

(1)求m、n;

(2)向右平移上述拋物線,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,若四邊形A A′B′B為菱形,求平移后拋物線的表達(dá)式;

(3)記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB′的交點(diǎn)為點(diǎn)C,試在x軸上找點(diǎn)D,使得以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

【答案】(1)m=﹣,n=4 (2)y=﹣(x﹣4)2+ (3)D(3,0)或(,0).

【解析】(1)已知了拋物線圖象上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),將它們代入拋物線的解析式中,即可求得m、n的值.

(2)根據(jù)A、B的坐標(biāo),易求得AB的長(zhǎng);根據(jù)平移的性質(zhì)知:四邊形AA′B′B一定為平行四邊形,若四邊形AA′B′B為菱形,那么必須滿足AB=BB′,由此可確定平移的距離,根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式.

(3)易求得直線AB′的解析式,聯(lián)立平移后的拋物線對(duì)稱軸,可得到C點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求出AB、BC、AC、B′C的長(zhǎng);在(2)題中已經(jīng)證得AB=BB′,那么∠BAC=∠BB′C,即A、B′對(duì)應(yīng),若以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,可分兩種情況考慮:①∠B′CD=∠ABC,此時(shí)△B′CD∽△ABC,②∠B′DC=∠ABC,此時(shí)△B′DC∽△ABC;

根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段,即可求得不同的BD長(zhǎng),進(jìn)而可求得D點(diǎn)的坐標(biāo).

解:(1)由于拋物線經(jīng)過(guò)A (﹣2,4)和點(diǎn)B (1,0),則有:

,解得;

故m=﹣,n=4.

(2)由(1)得:y=﹣x2x+4=﹣(x+1)2+

由A (﹣2,4)、B (1,0),可得AB==5;

若四邊形A A′B′B為菱形,則AB=BB′=5,即B′(6,0);

故拋物線需向右平移5個(gè)單位,即:

y=﹣(x+1﹣5)2+=﹣(x﹣4)2+

(3)由(2)得:平移后拋物線的對(duì)稱軸為:x=4;

∵A(﹣2,4),B′(6,0),

∴直線AB′:y=﹣x+3;

當(dāng)x=4時(shí),y=1,故C(4,1);

所以:AC=3,B′C=,BC=;

由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C;

若以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則:

①∠B′CD=∠ABC,則△B′CD∽△ABC,可得:

=,即=,B′D=3,

此時(shí)D(3,0);

②∠B′DC=∠ABC,則△B′DC∽△ABC,可得:

=,即=,B′D=,

此時(shí)D(,0);

綜上所述,存在符合條件的D點(diǎn),且坐標(biāo)為:D(3,0)或(,0).

“點(diǎn)睛”此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí);(3)題中,在相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊不確定的情況下,一定要分類討論,以免漏解.

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正多邊形邊數(shù)

3

4

5

6

n

α的度數(shù)

60°

45°

   

   

   

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