Question

【題目】如圖已知點(diǎn)A （﹣2，4）和點(diǎn)B （1，0）都在拋物線y=mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若四邊形A A′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；

（3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB′的交點(diǎn)為點(diǎn)C，試在x軸上找點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣，n=4 （2）y=﹣（x﹣4）2+ （3）D（3，0）或（，0）．

【解析】（1）已知了拋物線圖象上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得m、n的值．

（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，易求得AB的長(zhǎng)；根據(jù)平移的性質(zhì)知：四邊形AA′B′B一定為平行四邊形，若四邊形AA′B′B為菱形，那么必須滿足AB=BB′，由此可確定平移的距離，根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式．

（3）易求得直線AB′的解析式，聯(lián)立平移后的拋物線對(duì)稱軸，可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AB、BC、AC、B′C的長(zhǎng)；在（2）題中已經(jīng)證得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，可分兩種情況考慮：①∠B′CD=∠ABC，此時(shí)△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此時(shí)△B′DC∽△ABC；

根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可求得不同的BD長(zhǎng)，進(jìn)而可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）由于拋物線經(jīng)過(guò)A （﹣2，4）和點(diǎn)B （1，0），則有：

，解得；

故m=﹣，n=4．

（2）由（1）得：y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+1）2+；

由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB==5；

若四邊形A A′B′B為菱形，則AB=BB′=5，即B′（6，0）；

故拋物線需向右平移5個(gè)單位，即：

y=﹣（x+1﹣5）2+=﹣（x﹣4）2+．

（3）由（2）得：平移后拋物線的對(duì)稱軸為：x=4；

∵A（﹣2，4），B′（6，0），

∴直線AB′：y=﹣x+3；

當(dāng)x=4時(shí)，y=1，故C（4，1）；

所以：AC=3，B′C=，BC=；

由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；

若以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則：

①∠B′CD=∠ABC，則△B′CD∽△ABC，可得：

=，即=，B′D=3，

此時(shí)D（3，0）；

②∠B′DC=∠ABC，則△B′DC∽△ABC，可得：

=，即=，B′D=，

此時(shí)D（，0）；

綜上所述，存在符合條件的D點(diǎn)，且坐標(biāo)為：D（3，0）或（，0）．

“點(diǎn)睛”此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；（3）題中，在相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊不確定的情況下，一定要分類討論，以免漏解．