Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-4，0），B（0，3）．
（1）求AB的長；
（2）過點(diǎn)B作BC⊥AB，交軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果P、Q分別是AB和AC上的動點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=CQ=x，問是否存在這樣的使得△APQ與△ABC相似？若存在，請求出的x值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB．
（2）根據(jù)BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）假設(shè)△APQ與∽△ABC，利用其對應(yīng)邊成比例即可求出x的值．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-4，0），B（0，3），
∴OB=3，AO=4，
∴AB==5；

（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴BO²=AO•OC，即OC===2.25，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（2.25，0）；

（3）

當(dāng)△APQ與∽△ABC時，PQ∥BC，
∴=，
∵AP=CQ=x，
∴=，
解得x=．
當(dāng)△APQ與∽△ACB時，，
即，
解得：x=
答：（1）AB的長為5；（2）C的坐標(biāo)為（2.25，0）；（3）存在，x的值為或．
點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，射影定理等知識點(diǎn)，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．