Question

如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，DF過EC的中點G并與BC的延長線交于點F，BE與DF交于點O．若△ADE的面積為S，則四邊形B0GC的面積=

 

．

Answer 1

分析：由點D、E分別是邊AB、AC的中點，可得DE∥BC，DE=

1

2

BC，即可得△ADE∽△ABC與△ODE∽△OFB，又由EC的中點是G，則可得△DEG≌△FCG，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方與等高三角形的面積比等于對應底的比即可求得答案．

解答：解：∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

DE

BC

)2=

1

4

，
∵△ADE的面積為S，
∴S_△ABC=4S，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，
∴

DE

BF

=

OE

OB

，
又EG=CG，
∴△DEG≌△FCG（AAS），
∴DE=CF，
∴BF=3DE，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，
∴

OE

OB

=

DE

BF

=

1

3

，
∵AD=BD，
∴S_△BDE=S_△ADE=S，
∵AE=CE=2EG，
∴S_△DEG=

1

2

S_△ADE=

1

2

S，
∵

OE

OB

=

1

3

，
∴S_△ODE=

1

4

S_△BDE=

1

4

S，
∴S_△OEG=S_△DEG-S_△ODE=

1

4

S，
∵S_{四邊形DBCE}=S_△ABC-S_△ADE=3S，
∴S_{四邊形OBCG}=S_{四邊形DBCE}-S_△BDE-S_△OEG=3S-S-

1

4

S=

7

4

S．
故答案為：

7

4

S．

點評：此題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質以及全等三角形與相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，解題的關鍵是數形結合思想的應用，還要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方與等高三角形的面積比等于對應底的比．