Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D、T是圓上的兩點，且AT平分∠BAD，過點T作AD延長線的垂線PQ，垂足為C．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，，求弦AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明PQ是⊙O的切線只要證明OT⊥PQ即可；
（2）由已知可求得OM的長，從而利用勾股定理求得AD的長．
解答：證明：（1）連接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切線．

（2）解：過點O作OM⊥AC于M，則AM=MD；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四邊形OTCM為矩形，
∴，
∴在Rt△AOM中，，
∴弦AD的長為2．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．