Question

已知半徑為r的⊙O₁與半徑為R的⊙O₂外離，直線DE經(jīng)過(guò)O₁切⊙O₂于點(diǎn)E并交⊙O₁于點(diǎn)A和點(diǎn)D，直線CF經(jīng)過(guò)O₂切⊙O₁于點(diǎn)F并交⊙O₂于點(diǎn)B和點(diǎn)C，連接AB、CD，
（1）[以下ⅰ、ⅱ兩小題任選一題]
（�。┣笏倪呅蜛BCD的面積
（ⅱ）求證：A、B、E、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上
（2）求證：AB∥DC．

Answer 1

證明：（1）連接O₁F，O₂E，AF，BE，
∵DE，CF為切線，
∴∠O₁F0₂=∠O₂EO₁=90°，∴O₁、F、O₂、E四點(diǎn)共圓，
∴∠AO₁F=∠EO₂B，
又∵O₁A=O₁F，O₂E=O₂B，
∴根據(jù)三角形外角定理，得∠EAF=∠EBF，
所以A、E、B、F四點(diǎn)共圓；


（2）∵A、E、B、F四點(diǎn)共圓，
∴根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，連接EF，則∠ABF=∠AEF，
同（2）法可證F、C、E、D四點(diǎn)共圓，則∠DEF=∠DCF，
而∠AEF和∠DEF為同一角，則∠ABF=∠DCF，
所以AB∥CD．
設(shè)DC與O₁，O₂的另一交點(diǎn)分別為M、N，連接AM、BN，連接O₁O₂
∵AB∥CD

（�。┰O(shè)DC與O₁，O₂的另一交點(diǎn)分別為M、N，連接AM、BN，連接O₁O₂
∵AB∥CD
∴四邊形ABCD是梯形
又O₁、O₂是圓心，AD、BC是直徑
∴O₁O₂梯形ABCD的中位線，AM⊥BC，BN⊥BC
∴O₁F=r，AD=2r；O₂E=R，BC=2R
∴O₁O₂=（AB+CD），O₁O₂∥BC
∴∠O₁O₂F=∠C
∵CF、DE分別是⊙O₁、⊙O₂的切線
∴O₁F⊥O₂F，O₂E⊥O₁E
∴Rt△BCN∽R(shí)t△O₁O₂F
∴O₁O₂：BC=O₁F：BN
∴O₁O₂•BN=BC•O₁F=2Rr
∵AB∥BC，BN⊥BC
∴BN是梯形ABCD的高
∴S_梯形=（AB+CD）•AM=O₁O₂×BN=2Rr
分析：（1）連接O₁F，O₂E，AF，BE，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠O₁F0₂=O₂EO₁=90°，可證O₁、F、O₂、E四點(diǎn)共圓，得出∠AO₁F=∠EO₂B，再利用等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)證明∠EAF=∠EBF，判斷A、E、B、F四點(diǎn)共圓；
（2）由（1）的結(jié)論可證∠ABF=∠AEF，同理可證F、C、E、D四點(diǎn)共圓，得到∠DEF=∠DCF，從而有∠ABF=∠DCF，證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)，逐步判斷四點(diǎn)共圓，利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)證明結(jié)論．