Question

長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a•b•c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，那么這個長方體的體積為

888

．

Answer 1

分析：先把已知條件化為（1+a）（1+b）（1+c）=2007=3×3×223的形式，再根據(jù)2007=3×3×223即可求出a、b、c的值，進而可求出答案．

解答：解：：由已知得：
a+b+c+ab+ac+bc+abc
=（a+ab）+（ac+abc）+（c+bc）+b
=a（1+b）+ac（1+b）+c（1+b）+（1+b）-1
=（1+b）（a+ac+c+1）-1
=（1+b）[（a+ac）+（c+1）]-1
=（1+b）[a（1+c）+（1+c）]-1
=（1+b）（a+1）（1+c）-1
=（1+a）（1+b）（1+c）-1=2006
所以（1+a）（1+b）（1+c）=2007=3×3×223
由于題目只是求體積abc的值，所以不必討論a、b、c的大小順序，可得：
1+a=3，
1+b=3，
1+c=223，
解得：a=2，b=2，c=222．
因此，體積=abc=2×2×222=888．
故答案為：888．

點評：本題考查的是立體圖形，能把原式化為（1+a）（1+b）（1+c）-1=2006的形式是解答此題的關(guān)鍵．