Question

一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）．
（1）求該函數(shù)的解析式，并說明點(diǎn)（1，2）是否在函數(shù)圖象上；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵y=kx+b過A（2，0），B（0，4），
∴將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b計(jì)算得，
k=-2，b=4，
∴解析式為：y=-2x+4；
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2×1+4=2，所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上．

（2）存在一點(diǎn)P，使PC+PD最�。�
∵0（0，0），A（2，0），且C為AO的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
則C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
連接C′D，設(shè)C′D的解析式為y=kx+b，
有，
解得，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2．
分析：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b并計(jì)算出k、b的值，從而得出解析式，然后驗(yàn)證（1，2）是否在函數(shù)圖象上即可；
（2）取點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接DC′，即C′、P、D共線時(shí)，PC+PD的最小值是C′D．在直角三角形C′CD中，根據(jù)勾股定理，可得C′D的長，根據(jù)三角形的中位線定理已知點(diǎn)P的坐標(biāo)；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合所學(xué)軸對(duì)稱變換來解決．