Question

（2006•內(nèi)江）已知，二次函數(shù)y=mx²+3（m-）x+4（m＜0）與x軸交于A、B兩點，（A在B的左邊），與y軸交于點C，且∠ACB=90度．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）矩形DEFG的一條邊DG在AB上，E、F分別在BC、AC上，設(shè)OD=x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）將（1）中所得拋物線向左平移2個單位后，與x軸交于A′、B′兩點（A′在B′的左邊），矩形D′E′F′G′的一條邊D′G′在A′B′上（G′在D′的左邊），E′、F′分別在拋物線上，矩形D′E′F′G′的周長是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可以得到C的坐標是（0，4），則OC=4，∠ACB=90°且OC⊥AB，因而滿足射影定理，因而有C0²=AO•OB，AO•OB就是方程mx²+3（m-）x+4=0的兩根的積，根據(jù)韋達定理，AO•OB就可以用m表示出來．得到關(guān)于m的方程，求出m的值．
（2）已知OD=x，即E點的橫坐標是x，代入拋物線的解析式就可以求出E點的縱坐標；拋物線與x軸的交點坐標容易得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線AC的解析式．把E點的縱坐標代入AC的解析式就可以求出F點的橫坐標，就可以得到EF的長（用x表示出來）．則函數(shù)解析式就可以得到．
（3）在原來拋物線解析式中用x+2代替解析式中的x，就可以得到平移后的拋物線的解析式．可以設(shè)D’（x，O），同（2）中的解法就可以求出矩形D′E′F′G′的周長關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
解答：解：（1）∵CO²=AO•OB
m=-
y=-x²-x+4

（2）A（-8，0），B（2，0）
OD=x
ED=4-2xEF=5x
S=ED•EF=-10x²+20x（0＜x＜2）

（3）平移后的拋物線y′=x²-
∴A′（-10，0）B’（0，0）
設(shè)D’（x，0），則G’（-10-x，0）
E'（x，x²-x），
F'（-10-x，x²-x）
C_{矩形D'E'F'G}'=2（GD+DE）
=2[10+2x+（x²-x）]
=-x²-x+20（-5＜x＜0）
當x=-1時，C矩形D'E'F'G'最大值=20.5．
點評：本題是函數(shù)與矩形相結(jié)合的題目，把求最值的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．