根據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載,公元前1120年商高對周公說,將一根直尺折成一個(gè)直角,兩端連接得到一個(gè)直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括為“勾三、股四、弦五”.
(1)觀察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,并且
1
2
(9-1)=4,
1
2
(9+1)=5和
1
2
(25-1)=12,
1
2
(25+1)=13
發(fā)現(xiàn)規(guī)律:勾為n(n≥3,且n為奇數(shù))時(shí)有:股=
1
2
(n2-1),弦=
1
2
(n2+1)分別寫出能表示7,24,25的股和弦的算式?
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,用n(n為奇數(shù),且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾,股,弦,合理猜想它們之間的兩種等量關(guān)系并對其中一種猜想加以證明?
(3)繼續(xù)觀察①4,3,5;②6,8,10;②8,15,17;…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過,運(yùn)用類似上述的探索的方法,直接用m(m為偶數(shù),且m≥4)的代數(shù)式來表示它們的股和弦.
分析:(1)根據(jù)所給的勾股數(shù)之間的關(guān)系列出關(guān)系式即可;
(2)根據(jù)勾股數(shù)及勾股數(shù)平方之間的關(guān)系可猜想關(guān)系式1:弦-股=1;關(guān)系式2:勾2+股2=弦2,再列式證明即可;
(3)根據(jù)所給的勾股數(shù)找出三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系即可.
解答:解:(1)7,24,25的股的算式是:
1
2
(49-1)=
1
2
(72-1)
,(2分)
弦的算式是:
1
2
(49+1)=
1
2
(72+1)
;(1分)

(2)當(dāng)n為奇數(shù),且n≥3時(shí),勾、股、弦的代數(shù)式分別是:n,
1
2
(n2-1),
1
2
(n2+1)
,(2分)
猜想關(guān)系式1:弦-股=1;關(guān)系式2:勾2+股2=弦2,
例如關(guān)系式1證明:
弦-股=
1
2
(n2+1)-
1
2
(n2-1)=1
,(2分)
或關(guān)系式2證明:
2+股2=n2+[
1
2
(n2-1)]2=
1
4
n4+
1
2
n2+
1
4
=
1
4
(n2+1)2
=弦2
∴猜想成立;

(3)當(dāng)m為偶數(shù),且m≥4時(shí),
股、弦的代數(shù)式分別是:(
m
2
)2-1,(
m
2
)2+1
.(2分)
點(diǎn)評:本題屬規(guī)律性題目,考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系,根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、證明即可.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載,公元前1120年商高對周公說,將一根直尺折成一個(gè)直角,兩端連接得到一個(gè)直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括為“勾三、股四、弦五”.
(1)觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,小明發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,
當(dāng)勾=3時(shí),股4=
1
2
(9-1),弦5=
1
2
(9+1);
當(dāng)勾=5時(shí),股12=
1
2
(25-1),弦13=
1
2
(25+1);
------
請你根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用n(n為奇數(shù)且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾
 
、股
 
、弦
 
,并猜想他們之間的相等關(guān)系(寫二種)并對其中一種猜想加以證明;
(2)繼續(xù)觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過.請你直接用m(m為偶數(shù)且m≥4)的代數(shù)式來表示他們的股和弦.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載,公元前1120年商高對周公說,將一根直尺折成一個(gè)直角,兩端連接得一個(gè)直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括為“勾三,股四,弦五”.
(1)觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過.計(jì)算
1
2
(9-1)、
1
2
(9+1)與
1
2
(25-1)、
1
2
(25+1),并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,分別寫出能表示7,24,25的股和弦的算式;
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,用n(n為奇數(shù)且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦,合情猜想他們之間二種相等關(guān)系并對其中一種猜想加以證明;
(3)繼續(xù)觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過.運(yùn)用類似上述探索的方法,直接用m(m為偶數(shù)且m>4)的代數(shù)式來表示他們的股和弦.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

根據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載,公元前1120年商高對周公說,將一根直尺折成一個(gè)直角,兩端連接得到一個(gè)直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括為“勾三、股四、弦五”.
(1)觀察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,并且數(shù)學(xué)公式(9-1)=4,數(shù)學(xué)公式(9+1)=5和數(shù)學(xué)公式(25-1)=12,數(shù)學(xué)公式(25+1)=13
發(fā)現(xiàn)規(guī)律:勾為n(n≥3,且n為奇數(shù))時(shí)有:股=數(shù)學(xué)公式(n2-1),弦=數(shù)學(xué)公式(n2+1)分別寫出能表示7,24,25的股和弦的算式?
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,用n(n為奇數(shù),且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾,股,弦,合理猜想它們之間的兩種等量關(guān)系并對其中一種猜想加以證明?
(3)繼續(xù)觀察①4,3,5;②6,8,10;②8,15,17;…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過,運(yùn)用類似上述的探索的方法,直接用m(m為偶數(shù),且m≥4)的代數(shù)式來表示它們的股和弦.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

根據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載,公元前1120年商高對周公說,將一根直尺折成一個(gè)直角,兩端連接得到一個(gè)直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括為“勾三、股四、弦五”.
(1)觀察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,并且
1
2
(9-1)=4,
1
2
(9+1)=5和
1
2
(25-1)=12,
1
2
(25+1)=13
發(fā)現(xiàn)規(guī)律:勾為n(n≥3,且n為奇數(shù))時(shí)有:股=
1
2
(n2-1),弦=
1
2
(n2+1)分別寫出能表示7,24,25的股和弦的算式?
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,用n(n為奇數(shù),且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾,股,弦,合理猜想它們之間的兩種等量關(guān)系并對其中一種猜想加以證明?
(3)繼續(xù)觀察①4,3,5;②6,8,10;②8,15,17;…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過,運(yùn)用類似上述的探索的方法,直接用m(m為偶數(shù),且m≥4)的代數(shù)式來表示它們的股和弦.

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