Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），△PMN的三個(gè)內(nèi)角∠P、∠M、∠N所對(duì)的邊分別為p、m、n，若關(guān)于x的一元二次方程（p-m）x²+2nx+（p+m）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）試判定△PMN的形狀；
（2）當(dāng)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，平行于x軸的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好與x軸相切，求該圓的圓心坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，方程等根時(shí)△=0，全面地判斷△PMN的形狀；（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論，拋物線的對(duì)稱(chēng)性推出M、N的坐標(biāo)，設(shè)頂點(diǎn)式，求拋物線解析式；（3）設(shè)圓心C（2，h），可推出A（2+h，h），代入拋物線解析式可求h，從而確定圓心的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（p-m）x²+2nx+（p+m）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（2n）²-4（p-m）（p+m）=0，
解得m²+n²=p²；
又由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得PM=PN，
故△PMN是等腰直角三角形；
（2）由頂點(diǎn)P（2，-1）及△PMN是等腰直角三角形可得M（1，0），N（3，0），
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-2）²-1，
把M（1，0）代入得a=1，
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，圓心一定在對(duì)稱(chēng)軸上，
設(shè)圓心C（2，h），則A（2+h，h），
代入拋物線解析式，
h=（2+h-2）²-1，
解得h=

1± 5

2

，
∴該圓的圓心坐標(biāo)為（2，

1+ 5

2

）或（2，

1- 5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是方程與函數(shù)的綜合題，要充分運(yùn)用拋物線及圓的對(duì)稱(chēng)性，圓的切線性質(zhì)等知識(shí)解答本題．