Question

已知二次函數(shù)過點（0，3），且最低點是A（1，2）
（1）求該函數(shù)的解析式y(tǒng)
（2）設(shè)y在m≤x≤m+1的最小值是y₀，求y₀的表達式，如果y₀存在最小值，請求出最小值．
（3）在y₀的圖象上，是否存在一點B，使得AB的長度為1，如果存在，請求出B的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,兩點間的距離

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)最低點坐標設(shè)出頂點式函數(shù)解析式，然后把點（0，3）代入進行計算即可得解；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式分①m+1＜1，②m＞1，③0＜m＜1三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，分段表示出最小值的表達式；
（3）根據(jù)函數(shù)表達式作出圖形，然后結(jié)合圖形根據(jù)兩點間的距離公式列式進行計算即可求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-1）²+2，
∵二次函數(shù)過點（0，3），
∴a+2=3，
解得a=1，
∴函數(shù)的解析式y(tǒng)=（x-1）²+2；

（2）①m+1＜1，即m＜0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，
∴當x=m+1時，函數(shù)有最小值y₀=（m+1-1）²+2=m²+2，
②m＞1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，
∴當x=m時，函數(shù)有最小值y₀=（m-1）²+2；
③0＜m＜1時，x=1時，數(shù)有最小值y₀=2；
綜上所述，y₀的表達式為y₀=

m2+2(m＜0) 2(0≤m≤1) (m-1)2+2(m＞1)

，
最小值為y₀=2；

（3）根據(jù)圖象可得點B為（0，2）時，AB=1，
當m＞1時，設(shè)點B的坐標為（m，（m-1）²+2），
則AB=

(m-1)2+[(m-1)2+2-2]2

=1，
整理的（m-1）⁴+（m-1）²-1=0，
解得（m-1）²=

5 -1

2

，
∴m²-2m+1-

6-2 5

4

=0，
即2m²-4m-1+

5

=0，
解得m=

1+ 5

2

或m=

3- 5

2

（小于1，舍去），
當m=

1+ 5

2

時，（m-1）²+2=

7- 5

2

，
綜上所述，存在點B（0，2）或（

1+ 5

2

，

7- 5

2

），使AB=1．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及兩點間的距離公式，計算稍微麻煩一些，需要細心求解．