Question

如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論．試說明△ABP經(jīng)過怎樣變換可得到△CBQ．

Answer 1

解：猜想：AP=CQ
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CB，∠ABC=∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ，
在△ABP與△CBQ中，
AB=CB，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ，
△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBQ．
分析：猜想AP=CQ，證明如下：在三角形ABP和三角形CBQ中，由三角形ABC為等邊三角形得到AB=CB且∠ABC=∠PBQ=60°，兩角都減去∠PBC，根據(jù)等式的性質(zhì)得到∠ABP=∠CBQ，又BP=BQ，利用SAS即可得到兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得證；由BC與BA為一對對應邊，且夾角為60°，所以△ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△CBQ．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握判斷與性質(zhì)是解本題的關鍵．