Question

如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則DC=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據直徑所對的圓周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所對的圓周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根據圓內接四邊形對角互補求出∠BDC=60°再根據等弦所對的圓周角相等求出∠ADB=∠ADC，從而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可．
解答：解：∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=120°-90°=30°，
∴∠CBD=∠CAD=30°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，
∵AD=6，
∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，
在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．
故答案為：2．
點評：本題考查了圓周角定理，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，以及圓的相關性質，熟記各性質是解題的關鍵．