Question

已知拋物線y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B（m，n），且AB=2．
（1）求m、b的值；
（2）如果拋物線的頂點(diǎn)位于x軸的下方，且BO=

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．求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．（友情提示：請(qǐng)畫圖思考）

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）與y軸的交點(diǎn)為A，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，又由點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B（m，n），且AB=2，即可得拋物線的對(duì)稱軸方程，又由拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸方程為x=-

b

2

與b＞0，即可求得b與M的值；
（2）由（1）可得：A（0，c），B（-2，c），然后分別從若A在x軸下方與若A在x軸上方去分析，根據(jù)勾股定理即可求得c的值，注意拋物線的頂點(diǎn)位于x軸的下方．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）與y軸的交點(diǎn)為A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，c），
∵點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B（m，n），且AB=2，
∴拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸方程為：x=±1，
∵拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸方程為x=-

b

2

，
∵b＞0，
∴拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸方程為x=-1，
∴b=2，m=-2；

（2）如圖：①若A在x軸下方，可得：A（0，c），B（-2，c），
∵BO=

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，AB=2，
∴OA=

OB2-AB2

=4，
∴c=-4，
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²+2x-4，
②若A在x軸上方，同理可得：c=4，
即拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²+2x+4，
此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），
∵拋物線的頂點(diǎn)位于x軸的下方，
∴舍去；
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²+2x-4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性，注意勾股定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．