Question

如圖①，若二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-2，0），B（3，0）兩點，點A關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象的對稱點為C．
（1）求b、c的值；
（2）證明：點C在所求的二次函數(shù)的圖象上；
（3）如圖②，過點B作DB⊥x軸交正比例函數(shù)y=x的圖象于點D，連結(jié)AC，交正比例函數(shù)y=x的圖象于點E，連結(jié)AD、CD．如果動點P從點A沿線段AD方向以每秒2個單位的速度向點D運動，同時動點Q從點D沿線段DC方向以每秒1個單位的速度向點C運動．當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，連結(jié)PQ、QE、PE．設運動時間為t秒，是否存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c的值；
（2）如答圖1所示，關(guān)鍵是求出點C的坐標．首先求出直線y=x與x軸所夾銳角為60°，則可推出在Rt△CEK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出點C的坐標；
（3）如答圖2所示，關(guān)鍵是證明△APE∽△CEQ．根據(jù)∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，證明△APE∽△CEQ，根據(jù)相似線段比例關(guān)系列出方程，解方程求出時間t的值．
解答：解：（1）∵點A（-2，0），B（3，0）在拋物線y=x²+bx+c上，
∴，
解得：b=-，c=-．

（2）設點F在直線y=x上，且F（2，）．
如答圖1所示，過點F作FH⊥x軸于點H，則FH=，OH=2，
∴tan∠FOB==，∴∠FOB=60°．

∴∠AOE=∠FOB=60°．
連接OC，過點C作CK⊥x軸于點K．
∵點A、C關(guān)于y=x對稱，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．
∴∠COK=180°-∠AOE-∠COE=60°．
在Rt△COK中，CK=OC•sin60°=2×=，OK=OC•cos60°=2×=1．
∴C（1，-）．
拋物線的解析式為：y=x²-x-，當x=1時，y=-，
∴點C在所求二次函數(shù)的圖象上．

（3）假設存在．
如答圖1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC===．
如答圖2所示，∵OB=3，∴BD=3，AB=OA+OB=5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD===2．
∵點A、C關(guān)于y=x對稱，
∴CD=AD=2，∠DAC=∠DCA，AE=CE=AC=．
連接PQ、PE，QE，則∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．

在四邊形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°，（四邊形內(nèi)角和等于360°）
即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．
又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°，（三角形內(nèi)角和定理）
∴∠AEP=∠CQE．
在△APE與△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
∴△APE∽△CEQ，
∴，即：，
整理得：2t²-t+3=0，
解得：t=或t=（t＜，故舍去）
∴存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，此時t=．
點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、對稱、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識點．試題的難點在于第（3）問，圖形中線段較多關(guān)系復雜，難以從中發(fā)現(xiàn)有效的等量關(guān)系，證明△APE∽△CEQ是解題關(guān)鍵．