【題目】如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,把三角板的直角頂點(diǎn)放置BC中點(diǎn)E處,三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點(diǎn)G、F.

(1)求證:△GBE∽△GEF.

(2)設(shè)AG=x,GF=y,求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量取值范圍.

(3)如圖2,連接ACGF于點(diǎn)Q,交EF于點(diǎn)P.當(dāng)△AGQ與△CEP相似,求線段AG的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析;(2)y=4﹣x+(0x3);(3)當(dāng)△AGQ與△CEP相似,線段AG的長(zhǎng)為24﹣

【解析】

(1)先判斷出△BEF'≌△CEF,得出BF'=CF,EF'=EF,進(jìn)而得出∠BGE=∠EGF,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出△BEG∽△CFE進(jìn)而得出CF=

,即可得出結(jié)論;
(3)分兩種情況,①△AGQ∽△CEP時(shí),判斷出BGE=60°,即可求出BG;
②△AGQ∽△CPE時(shí),判斷出EGAC,進(jìn)而得出△BEG∽△BCA即可得出BG,即可得出結(jié)論.

(1)如圖1,延長(zhǎng)FEAB的延長(zhǎng)線于F',

∵點(diǎn)EBC的中點(diǎn),

∴BE=CE=2,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB∥CD,

∴∠F'=∠CFE,

在△BEF'和△CEF中,

∴△BEF'≌△CEF,

∴BF'=CF,EF'=EF,

∵∠GEF=90°,

∴GF'=GF,

∴∠BGE=∠EGF,

∵∠GBE=∠GEF=90°,

∴△GBE∽△GEF;

(2)∵∠FEG=90°,

∴∠BEG+∠CEF=90°,

∵∠BEG+∠BGE=90°,

∴∠BGE=∠CEF,

∵∠EBG=∠C=90°,

∴△BEG∽△CFE,

由(1)知,BE=CE=2,

∵AG=x,

∴BG=4﹣x,

,

∴CF=,

由(1)知,BF'=CF=,

由(1)知,GF'=GF=y,

∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+

當(dāng)CF=4時(shí),即:=4,

∴x=3,(0≤x≤3),

即:y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=4﹣x+(0≤x≤3);

(3)∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線,

∴∠BAC=∠BCA=45°,

∵△AGQ與△CEP相似,

∴①△AGQ∽△CEP,

∴∠AGQ=∠CEP,

由(2)知,∠CEP=∠BGE,

∴∠AGQ=∠BGE,

由(1)知,∠BGE=∠FGE,

∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE,

∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°,

∴∠BGE=60°,

∴∠BEG=30°,

Rt△BEG中,BE=2,

∴BG=

∴AG=AB﹣BG=4﹣,

②△AGQ∽△CPE,

∴∠AQG=∠CEP,

∵∠CEP=∠BGE=∠FGE,

∴∠AQG=∠FGE,

∴EG∥AC,

∴△BEG∽△BCA,

,

∴BG=2,

∴AG=AB﹣BG=2,

即:當(dāng)△AGQ與△CEP相似,線段AG的長(zhǎng)為24﹣

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