Question

如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B．C．D重合．
（1）證明不論E、F在BC．CD上如何滑動，總有BE=CF；
（2）當(dāng)點E、F在BC．CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值．

Answer 1

（1）見解析
（2）見解析

（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，從而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根據(jù)S_四邊形AECF=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)S_△CEF=S_{四邊形AECF}－S_△AEF，則△CEF的面積就會最大。
解：（1）證明：如圖，連接AC

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD為等邊三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB�！唷螦BE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，則S_△ABE=S_△ACF。
∴S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H點，則BH=2，
。
由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．
故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，
又S_△CEF=S_{四邊形AECF}﹣S_△AEF，則此時△CEF的面積就會最大．
∴S_△CEF=S_{四邊形AECF}﹣S_△AEF。
∴△CEF的面積的最大值是。