(2010•臺(tái)州)如圖1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DE,DF分別交線段AC于點(diǎn)M,K.
(1)觀察:①如圖2、圖3,當(dāng)∠CDF=0°或60°時(shí),AM+CK______MK(填“>”,“<”或“=”);
②如圖4,當(dāng)∠CDF=30°時(shí),AM+CK______MK(只填“>”或“<”);
(2)猜想:如圖1,當(dāng)0°<∠CDF<60°時(shí),AM+CK______MK,證明你所得到的結(jié)論;
(3)如果MK2+CK2=AM2,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CDF的度數(shù)和的值.

【答案】分析:(1)先證明△CDA是等腰三角形,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明AM+CK=MK;在△MKD中,AM+CK>MK(兩邊之和大于第三邊);
(2)作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接GK,GM,GD.證明△ADM≌△GDM后,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),GM=AM,GM+GK>MK,∴AM+CK>MK;
(3)根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°,又∵點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,∴<CKG=90°,<FKC=<CKG=45°,根據(jù)三角形的外角定理,就可以求得∠CDF=15°;在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°,∴∠GMK=30°,利用余弦定理解得=
解答:解:(1)①在Rt△ABC中,D是AB的中點(diǎn),
∴AD=BD=CD=,∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°,
∴∠ACD=60°-30°=30°,
又∵∠CDE=60°,或∠CDF=60°時(shí),
∴∠CKD=90°,
∴在△CDA中,AM(K)=CM(K),即AM(K)=KM(C)(等腰三角形底邊上的垂線與中線重合),
∵CK=0,或AM=0,
∴AM+CK=MK;(2分)
②由①,得
∠ACD=30°,∠CDB=60°,
又∵∠A=30°,∠CDF=30°,∠EDF=60°,
∴∠ADM=30°,
∴AM=MD,CK=KD,
∴AM+CK=MD+KD,
∴在△MKD中,AM+CK>MK(兩邊之和大于第三邊).(2分)

(2)>(2分)
證明:作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,
連接GK,GM,GD,
則CD=GD,GK=CK,∠GDK=∠CDK,
∵D是AB的中點(diǎn),∴AD=CD,
∴GD=AD.∠DAC=∠DCA=30°,
∴∠CDA=120°,
∵∠EDF=60°,∴∠GDM+∠GDK=60°,
∠ADM+∠CDK=60°.
∴∠ADM=∠GDM,(3分)
∵DM=DM,

∴△ADM≌△GDM,(SAS)
∴GM=AM.
∵GM+GK>MK,∴AM+CK>MK.(1分)

(3)由(2),得GM=AM,GK=CK,
∵M(jìn)K2+CK2=AM2,
∴MK2+GK2=GM2,
∴∠GKM=90°,
又∵點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,
∴∠CKG=90°,∠FKC=∠CKG=45°,
又由(1),得∠A=∠ACD=30°,
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD,
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°,
在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°,
∴∠GMK=30°,
=,
=
綜上可得:∠CDF的度數(shù)為15°,的值為
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)以及三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì).
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(1)求證:△DHQ∽△ABC;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),△HDE為等腰三角形?

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