Question

23、已知△ABC為正三角形，點(diǎn)M是射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線BN與AM相交于點(diǎn)Q．下面給出了三種情況（如圖①，②，③），先用量角器分別測(cè)量∠BQM的大小，然后猜測(cè)∠BQM是否為定值并利用其中一圖證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：由等邊三角形ABC的性質(zhì)，可知∠ABC=∠C=60°，AB=BC，又已知BM=CN，所以△ABM≌△BCN，有∠BAM=∠CBN，再根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，即∠BQM為定值．

解答：解：∠BQM為定值．
理由：如圖①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC
∵BM=CN
∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠BAM=∠CBN（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°
即∠BQM為定值．
圖②中：∠BQM=∠ABN+∠BAM
∵△ABM≌△BCN
∴∠BAM=∠CBN
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°
圖③中：
∠BQM=∠N+∠NAQ
∵△ABM≌△BCN，
∴∠N=∠M，且∠NAQ=∠CAM，
又∵∠ACB=∠M+∠CAM=∠N+∠NAQ，
且∠BQM=∠N+∠NAQ，
∴∠BQM=∠ACB=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，及等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和外角的關(guān)系．是一道基礎(chǔ)題．