Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，AD⊥CD于點(diǎn)D．
求證：∠AOC=2∠ACD．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：連接BC，由CD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC與CD垂直，得到一對(duì)角互余，再由AB為圓O的直徑，得到BC與CA垂直，得到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到∠ACD=∠OCB，再由OC=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，∠AOC為三角形BOC的外角，利用外角的性質(zhì)及等量代換得到∠AOC=2∠OCB，等量代換即可得證．

解答：證明：連接BC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC為△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=2∠OCB，
則∠AOC=2∠ACD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．