Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知⊙O半徑為1，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．過點A和點C分別作⊙O的切線MA、NC，它們分別與直線y=x交于點M、N，
（1）寫出點M、D、N的坐標；
（2）拋物線過點M、D、N，它的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求cos∠BDF的值與EF的長．
（3）探索：將⊙O作怎樣的平移，才能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)⊙O半徑為1，得出D點坐標，再利用CO=1，AO=1，點M、N在直線y=x上，即可求出答案；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再利用配方法求出頂點坐標即可，再利用解直角三角形求出cos∠BDF的值；
（3）根據(jù)平移后的圓心O在x軸的上方時，可設平移后的圓心O′的坐標為（m，1），得出O′的坐標為（0，1）或（1，1），再利用當平移后的圓心O在x軸的下方時，可設平移后的圓心O″的坐標為（n，-1），得出O″的坐標為（-1，-1）或（2，-1），再利用平移分析即可．

解答：解：（1）∵⊙O半徑為1，
∴D（0，1），
∵過點A和點C分別作⊙O的切線MA、NC，它們分別與直線y=x交于點M、N，
CO=1，AO=1，
∴M（-1，-1）、N（1，1）；

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
∵點D、M、N在拋物線上．
∴得：

c=1 -1=a-b+c 1=a+b+c

，
解之，得：

a=-1 b=1 c=1

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+1．
∵y=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

，
∴拋物線的對稱軸為x=

1

2

，
∴OE=

1

2

，DE=

1 4 +1

=

5

2

．
連接BF，∠BFD=90°，
∴

DE

DB

=

OD

FD

，
又DE=

5

2

，OD=1，DB=2，
∴FD=

4 5

5

，
∴EF=FD-DE=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．
在直角三角形DOE中，cos∠BDF=

DO

DE

=1÷

5

2

=

2 5

5

．

（3）∵⊙O半徑為1，平移后的⊙O要與x軸相切且它的圓心O在拋物線上，
∴平移后的圓心O必在平行于x軸且到x軸的距離為1的直線與拋物線的交點上
當平移后的圓心O在x軸的上方時，可設平移后的圓心O′的坐標為（m，1）．
則-m²+m+1=1，
解得m₁=0，m₂=1，
∴O′的坐標為（0，1）或（1，1）
當平移后的圓心O在x軸的下方時，可設平移后的圓心O″的坐標為（n，-1）．
則-n²+n+1=-1，
解得n₁=-1，n₂=2，
∴O″的坐標為（-1，-1）或（2，-1）
∴①將⊙O沿著y軸的正方向平移1個單位，能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；
②將⊙O沿著y軸的正方向平移1個單位后，再沿著x軸的正方向平移1個單位（或將⊙O沿著直線y=x的向上方向平移

2

個單位），能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；
③將⊙O沿著y軸的負方向平移1個單位后，再沿著x軸的負方向平移1個單位，（或將⊙O沿著直線y=x的向下方向平移

2

個單位）能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；
④將⊙O沿著y軸的負方向平移1個單位后，再沿著x軸的正方向平移2個單位，（或將⊙O沿著直線y=

1

2

x的向下方向平移

2

個單位）能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上；

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，主要利用一次函數(shù)的性質以及平移的性質以及二次函數(shù)的性質綜合應用，數(shù)形結合得出，題目綜合性較強．