Question

如圖，P為正方形ABCD的對稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點H從原點O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點R從O出發(fā)沿OM方向以個單位每秒速度運動，運動時間為t．

求：（1）C點的坐標為          ；

（2）當t為何值時，△ANO與△DMR相似？

（3）①求△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②并求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時t的值及S的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（4，1）；（2）t＝2或t＝3；（3）（3）①S＝－t²＋2t（0＜t≤4），S＝t²－2t（t＞4）；

②t＝4.5，S＝或t＝，S＝或t＝，S＝．

【解析】

試題分析：（1）作CQ⊥x軸，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝90°，即有∠CBQ＝∠OAB，從而可以證得△AOB≌△BQC，即得CQ＝OB，BQ＝OA，再結(jié)合A（0，3），B（1，0）求解即可；

（2）由P是正方形的對稱中心可求得點P的坐標，即可得到∠MOB、∠AON的度數(shù)，再根據(jù)路程、速度、時間的關(guān)系表示出OR、OH的長，即可得到RH∥y軸，即R、H的橫坐標相同，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DMR＝∠ANO，若△ANO與△DMR相似，則∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，從而可以求得結(jié)果；

（3）①由R速度為，H速度為1，且∠ROH＝45°可得tan∠ROH＝1，根據(jù)RH始終垂直于x軸可得RH＝OH＝t， 設(shè)△HCR的邊RH的高為h，再分0＜t≤4與t＞4兩種情況根據(jù)三角形的面積公式求解；

②以A、B、C、R為頂點的梯形，有三種可能：Ⅰ．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR；Ⅱ．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，且R與M重合；Ⅲ．當AC和BR是梯形的底時，根據(jù)梯形的性質(zhì)及一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

（1）作CQ⊥x軸，

∵正方形ABCD，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠CBQ＝∠OAB，

∴△AOB≌△BQC，

∴CQ＝OB，BQ＝OA，

∵A（0，3），B（1，0），

∴BQ＝3，CQ＝1，

∴OQ＝4，

∴C（4，1）；

（2）∵P是正方形的對稱中心，由A（0，3），C（4，1），

∴P（2，2）；

∴∠MOB＝45°，

∴∠AON＝45°，

∵點R從O出發(fā)沿OM方向以個單位，每秒速度運動，運動時間為t，

∴OR＝t，OH＝t．

∴RH∥y軸，即R、H的橫坐標相同；

∵AB∥CD，

∴∠DMR＝∠ANO，

若△ANO與△DMR相似，則∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，

①當∠MDR＝45°時，R、P重合，∵R（2，2），∴t＝2；

②當∠DRM＝45°時，DR∥y軸，∵D（3，4），∴R（3，3），∴t＝3，

∴當t＝2或t＝3時，△ANO與△DMR相似；

（3）①∵R速度為，H速度為1，且∠ROH＝45°，

∴tan∠ROH＝1，

∴RH始終垂直于x軸，

∴RH＝OH＝t， 

設(shè)△HCR的邊RH的高為h，

∴h＝|4－t|．

∴S_△HCR＝h?t＝|－t²＋4t|，

∴S＝－t²＋2t（0＜t≤4）；S＝t²－2t（t＞4）；

②以A、B、C、R為頂點的梯形，有三種可能：

Ⅰ．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR．

如圖，延長AD，使其與OM相交于點R，

∴AD的斜率＝tan∠BAO＝，

∴直線AD為：y＝＋3．

∴R坐標為（4.5，4.5），

∴此時四邊形ABCR為梯形，

∴t＝4.5．S＝；

Ⅱ．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，且R與M重合．

∴CD的斜率＝－3，且直線CD過點C，

∴直線CD為：y－1＝－3?（x－4）

∴y＝－3x＋13，

∵OM與CD交于點M（即R），

∴M為（，），

∴此時四邊形ABCR為梯形，

∴t＝．S＝

Ⅲ．當AC和BR是梯形的底時，設(shè)AC的解析式是y＝kx＋b，

則，解得，

則解析式是y＝－x＋4，

設(shè)BC的解析式是y＝－x＋c，

則－1＋c＝0，解得c＝1，

則函數(shù)的解析式是y＝－x＋1，

∴R坐標（，）

∴t＝，S＝．

考點：動點問題的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．