Question

（2010•河南）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S、求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由待定系數(shù)法將A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，聯(lián)立求解即可；
（2）過M作x軸的垂線，設(shè)垂足為D．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），即可用含m的代數(shù)式表示MD、OD的長，分別求出△AMD、梯形MDOB、△AOB的面積，那么△AMD、梯形MDOB的面積和減去△AOB的面積即為△AMB的面積，由此可得關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值．
（3）解決此題需要充分利用平行四邊形的性質(zhì)求解．設(shè)P（x，x²+x-4），
①如圖1，當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，則Q（x，-x）．由PQ=OB即可求出結(jié)論；
②如圖2，當(dāng)OB為對角線時(shí)，那么P、Q的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)（若P的橫坐標(biāo)為x，則Q的橫坐標(biāo)為-x），即Q（-x，x）．由P、O的縱坐標(biāo)差的絕對值等于Q、B縱坐標(biāo)差的絕對值，得x²+x-4=-4-x，求出x的值即可．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），
把B（0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，
∴拋物線的解析式為：y=（x+4）（x-2），即y=x²+x-4；

（2）過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），
則AD=m+4，MD=-n，n=m²+m-4，
∴S=S_△AMD+S_梯形DMBO-S_△ABO
=
=-2n-2m-8
=-2×（m²+m-4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4（-4＜m＜0）；
∴S_最大值=4．

（3）設(shè)P（x，x²+x-4）．
①如圖1，當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，
∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，
又∵直線的解析式為y=-x，
則Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（x²+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合題意，舍去．由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；

②如圖2，當(dāng)BO為對角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=-x得出Q為（4，-4）．
故滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；此題的難點(diǎn)在于（3）題，需要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并且要考慮到各種情況才能做到不漏解．