Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=

4

5

，D是斜邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，AE交直線BC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)tan∠BCD=

1

2

時(shí)，求線段BF的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，設(shè)AD=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，及其定義域；
（3）當(dāng)BF=

5

4

時(shí)，求線段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由題意先求出AC，BC的長(zhǎng)，由AE⊥CD和∠ACB=90°，證明出∠CAF=∠BCD，再由tan∠BCD=

1

2

，可知tan∠CAF=tan∠BCD=

1

2

，求得CF，從而求得線段BF的長(zhǎng)；
（2）通過(guò)分析，作輔助線，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得：

BG

AC

=

BD

AD

，再由（1）得

BG

BC

=

CF

AC

，根據(jù)以上兩個(gè)式子求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，求得線段AD的長(zhǎng)為

9

4

或

3

2

．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=

4

5

，
∴BC=4，AC=3，（1分）
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD（2分）
∴tan∠CAF=tan∠BCD=

1

2

，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=

3

2

，BF=

5

2

（1分）

（2）過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，（1分）

∴

BG

AC

=

BD

AD

，即

BG

3

=

(5-x)

x

①（1分）
在Rt△ACF與Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF=tan∠BCD，

∴

BG

BC

=

CF

AC

，即

BG

4

=

(4-y)

3

，②（1分）
由①②得

4(4-y)

3

=

3(5-x)

x

，y=

25x-45

4x

=

25

4

-

45

4x

(

9

5

≤x≤5)（2分）

（3）1°當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，
把y=

5

4

代入y=

25

4

-

45

4x

解得x=

9

4

，（2分）
2°當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，
設(shè)AD=x，由（2）同理可得

4(4+ 5 4 )

3

=

3(5-x)

x

，解得x=

3

2

（2分）
綜上所述當(dāng)BF=

5

4

時(shí)，線段AD的長(zhǎng)為

9

4

或

3

2

（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，用到了分類(lèi)討論的思想，是一道綜合題難度大．