Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，AD=DC．分別延長(zhǎng)BA，CD，交點(diǎn)為E．作BF⊥EC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若AE=AO，BC=6，則CF的長(zhǎng)為

3 2

2

．

Answer 1

分析：連接AC，BD，OD，由圓周角定理可知∠BCA=∠BDA=90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠BCF=∠BAD，根據(jù)相似三角形的判定定理可得Rt△BCF∽R(shí)t△BAD，則有

BC

BA

=

CF

AD

，即

CF

BC

=

AD

AB

，又因?yàn)镺D是⊙O的半徑，AD=CD，根據(jù)垂徑定理的推論得OD垂直平分AC，則OD∥BC，

DE

CD

=

OE

OB

，并且有△EOD∽△EBC，則

OE

BE

=

DE

CE

=

OD

BC

，

DE

CD

=

OE

OB

，而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6，可得到半徑OD=4，CE=

3

2

DE，又∠EDA=EBC，∠E公共可得到△AED∽△CEB，則DE•EC=AE•BE，即有DE•

3

2

DE=4×12，可求出DE=4

2

，則CD=2

2

，則AD=2

2

，然后代入

CF

BC

=

AD

AB

即可求出CF的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，連接AC，BD，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=∠BDA=90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCF=∠BAD，
∴Rt△BCF∽R(shí)t△BAD，
∴

BC

BA

=

CF

AD

，即

CF

BC

=

AD

AB

，
∵OD是⊙O的半徑，AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
∴

DE

CD

=

OE

OB

，
∴△EOD∽△EBC，
∴

OE

BE

=

DE

CE

=

OD

BC

，

DE

CD

=

OE

OB

，
而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6
∴

OE

BE

=

DE

CE

=

OD

6

=

2

3

，

DE

CD

=2，
∴OD=4，CE=

3

2

DE，
又∵∠EDA=EBC，∠E公共，
∴△AED∽△CEB，
∴DE•EC=AE•BE，
∴DE•

3

2

DE=4×12，
∴DE=4

2

，
∴CD=2

2

，則AD=2

2

，
∴

CF

6

=

2 2

8

，
∴CF=

3 2

2

．
故答案為

3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了圓周角定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及垂直定理的推論．