Question

（2013•濟寧）如圖，直線y=-

1

2

x+4與坐標軸分別交于點A、B，與直線y=x交于點C．在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發(fā)向點O做勻速運動，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動．分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF．若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點P、Q重合除外）．
（1）求點P運動的速度是多少？
（2）當t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？
（3）當t為多少秒時，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-

1

2

x+4與坐標軸分別交于點A、B，得出A，B點的坐標，再利用EP∥BO，得出

OB

AO

=

EP

AP

=

1

2

，據(jù)此可以求得點P的運動速度；
（2）當PQ=PE時，以及當PQ=PE時，矩形PEFQ為正方形，分別求出即可；
（3）根據(jù)（2）中所求得出s與t的函數(shù)關系式，進而利用二次函數(shù)性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

1

2

x+4與坐標軸分別交于點A、B，
∴x=0時，y=4，y=0時，x=8，
∴

BO

AO

=

4

8

=

1

2

，
當t秒時，QO=FQ=t，則EP=t，
∵EP∥BO，
∴

OB

AO

=

EP

AP

=

1

2

，
∴AP=2t，
∵動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運動，
∴點P運動的速度是每秒2個單位長度；

（2）如圖1，當PQ=PE時，矩形PEFQ為正方形，
則∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴8-3t=t，
解得：t=2，
如圖2，當PQ=PE時，矩形PEFQ為正方形，
∵OQ=t，PA=2t，
∴OP=8-2t，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴t=3t-8，
解得：t=4；

（3）如圖1，當Q在P點的左邊時，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（8-3t）•t=8t-3t²，
當t=-

8

2×(-3)

=

4

3

時，
S_矩形PEFQ的最大值為：

4×(-3)×0-82

4×(-3)

=

16

3

，
如圖2，當Q在P點的右邊時，
∵OQ=t，PA=2t，
∴2t＞8-t，
∴t＞

8

3

，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（3t-8）•t=3t²-8t，
∵當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動，
∴

8

3

＜t≤4，
當t=-

8

2×(-3)

=

4

3

時，S_矩形PEFQ的最小，
∴t=4時，S_矩形PEFQ的最大值為：3×4²-8×4=16，
綜上所述，當t=4時，S_矩形PEFQ的最大值為：16．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用，得出P，Q不同的位置進行分類討論得出是解題關鍵．