Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角邊BC為直徑作⊙O、交AB于點D，E為AC的中點，連接DE

(1)求證：DE為⊙O的切線；

(2)已知BC＝4．填空．

①當DE＝　 　時，四邊形DOCE為正方形；

②當DE＝　 　時，△BOD為等邊三角形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①2；②2．

【解析】

（1）連接CD，根據(jù)圓周角定理得出∠CDB＝90°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出DE＝CE＝AE，求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）①若四邊形DOCE為正方形，則OC＝OD＝DE＝CE＝2；

②若△BOD為等邊三角形，則∠DOE＝60°，則Rt△ODE中，則DE＝2．

(1)如圖，連接CD，OE，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC＝90°，

∵DE為Rt△ADC的斜邊AC上的中線，

在△COE與△DOE中，OD＝CC，OE＝OE，DE＝CE，

∴△COE≌△DOE，

∴∠OCE＝∠ODE＝90°，

DE為⊙O的切線；

(2)①若四邊形DOCE為正方形，則OC＝OD＝DE＝CE，

∵BC＝4，

∴DE＝2．

②若△BOD為等邊三角形，

∴∠BOD＝60°，

∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，

∴∠DOE＝60°，

∴Rt△ODE中，DE＝OD．

故答案為：2，2．