Question

如圖，BC是⊙A的直徑，以B為圓心的圓與⊙A交于M，N兩點(diǎn)，MN交BC于點(diǎn)P．
（1）求證：CM是⊙B的切線；
（2）若⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為1，求CM和MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由于AB是直徑，可知∠MBC=90°，那么有BM⊥CM，從而CM是⊙B的切線；
（2）在Rt△BCM中，利用勾股定理可求CM，又BC⊥MN，BM⊥CM，可得∠CPM=∠CMB=90°，再加上一對(duì)公共角，可△MPC∽△BMC，可得比例線段，可求出PM，從而利用垂徑定理可求出MN．

解答：（1）證明：連接BM，
∵BC是⊙A的直徑，
∴∠MBC=90°，
∴BM⊥CM，
∴CM是⊙B的切線；

（2）解：在Rt△BCM中，
∵BC=2×2=4，BM=1，
∴CM=

BC2-BM2

=

42-12

=

15

，
又∵BC是直徑，
∴BC⊥MN，
∴∠CPM=90°，MN=2PM；
又∵∠CMB=90°，∠MCP=∠BCM，
∴△MPC∽△BMC，
∴BM：BC=PM：CM，
∴1：4=PM：

15

，
∴PM=

15

4

，
∴MN=2PM=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的判定、勾股定理、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．