Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax²+bx+c的開口向上，頂點(diǎn)P在直線y=-4x上，且P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為

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，又知拋物線與x軸兩交點(diǎn)A、B（A在B的左側(cè)）的橫坐標(biāo)的平方和為10．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若Q是拋物線上異于A、B、P的點(diǎn)，且∠QAP=90°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（利用“點(diǎn)坐標(biāo)的絕對值等于線段長”溝通函數(shù)與幾何，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)用函數(shù)知識，轉(zhuǎn)化為線段長用幾何知識）

Answer 1

分析：（1）由頂點(diǎn)P在直線y=-4x上，且P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為

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，可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理可以解決，
（2）假設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，表示出AQ，QP的長度，利用勾股定理可以解決．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)P在直線y=-4x上，
可設(shè)P（a₁，-4a），則有a2+(-4a)2=(

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)2，
解得：a=±1，
∴P（1，-4）或（-1，4）．
∵拋物線開口向上，又與x軸有交點(diǎn)，
∴（-1，4）不合題意舍去．
設(shè)y=a（x-1）²-4=ax²-2ax+a-4與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、
B（{x₂，0），

x1+x2=2 x1•x2= a-4 a x12+x22=10

，
消x₁、x₂，
解得a=1；

（2）如圖所示，設(shè)拋物線上點(diǎn)Q（m，n），過Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M．
AQ=

(m+1)2+n2

，QP=

(m-1)2+(n+4)2

，
AP=2

5

，
∵∠QAP=90°，由勾股定理，得(

(m+1)2+n2

)2+(2

5

)2=（m-1）²+（n+4）²，
整理，得m-2n+1=0，又n=m²-2m-3．
解得

m1=-1 n1=0

（不合題意舍去）或

m2= 7 2 n2= 9 4

．
∴Q（

7

2

，

9

4

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，計算量較大，應(yīng)認(rèn)真計算．