Question

(2007，福建省廈門市，22)已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．現(xiàn)給出四個(gè)條件；①AC⊥BD；②AC平分對(duì)角線BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA．請(qǐng)你以其中的三個(gè)條件作為命題的題設(shè)，以“四邊形ABCD是菱形”作為命題的結(jié)論，

(1)寫出一個(gè)真命題，并證明；

(2)寫出一個(gè)假命題，并舉出一個(gè)反例說明．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)真命題：如圖，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AC⊥BD，AC平分對(duì)角線BD，AD∥BC，則四邊形ABCD是菱形． 證明：∵AD∥BC，∴∠CBO=∠ADO． ∵AC垂直平分BD， ∴Rt△AOD≌Rt△COB． ∴AD=BC． ∴四邊形ABCD是平行四邊形． ∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形． (2)假命題1：已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AC⊥BD，AC平分對(duì)角線BD，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形． 反例：作等腰直角三角形ABD，∠A=90°，以BD為一邊，作等邊三角形BCD，連接AC、BD交于點(diǎn)O． 則AC⊥BD，AC平分對(duì)角線BD，∠OAD=∠ODA 但四邊形ABCD不是菱形． 假命題2：已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形． 反例：作等腰直角三角形AOD，∠AOD=90°．延長(zhǎng)DO至B，AO至C，取OB=OC(OB≠OD)．連接AB、BC、CD，則AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA． 則四邊形ABCD是等腰梯形，不是菱形． 假命題3：已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AC平分對(duì)角線BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形． 反例：作等腰三角形AOD(OA=OD，∠AOD≠90°)． 延長(zhǎng)DO至B，AO至C，取OB=OC=OA=OD連接AB、BC、CD，則AD≠AB，AC平分對(duì)角線BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA． 則四邊形ABCD是矩形，不是菱形．