Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB為⊙O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1厘米/秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2厘米/秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點停止時，另一點也隨之停止運動．
（1）求⊙O的直徑；
（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCD的面積；
（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圓的直徑．
（2）要求四邊形PQCD的面積，只需用t表達出CQ和PD．當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，CQ-PD=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值，從而確定四邊形的面積．
（3）先假設(shè)存在，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，則存在，若方程無解，則不存在．

解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于E，
BE=AD=13，
∵BC=16，
∴EC=3，
在Rt△DCE中，由于DC=5，
則DE=

52-32

=4，
所以圓的直徑為4厘米；

（2）當(dāng)P，Q運動t秒時，由點P，Q的運動速度為1厘米/秒和2厘米/秒，
所以PD=（13-t）厘米，CQ=2t厘米，
所以四邊形PQCD的面積為y=

1

2

AB•(PD+CQ)，
即y=2t+26（0＜t≤8）；
當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，CQ-PD=2CE，
所以2t-（13-t）=6，解得t=

19

3

，
這時y_{四邊形PQCD}=

116

3

厘米²．

（3）存在．若PQ與圓相切，切點G，作PH⊥BC于H，
所以PA=PG=t，QG=QB=16-2t，
又得到QH=QB-HB=（16-2t）-t=16-3t，PQ=BQ+AP=16-t，
根據(jù)勾股定理得PQ²=PH²+QH²，
所以（16-t）²=16+（16-3t）²，
解得t₁=4+

14

，t₂=4-

14

，
因為4+

14

和4-

14

都在0＜t≤8內(nèi)，所以在t=（4+

14

）秒或t=（4-

14

）秒時，直線PQ與圓相切．

點評：本題是一個動點問題，解題時要善于將動點問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)題．此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質(zhì)．