Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺（曲尺）MPN的直角頂點P在AD上滑動到某點（點P與點A、D不重合），射線PN經(jīng)過點C，射線PM交直線AB于點E，交直線BC于點F．
（1）求證：Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）是否存在這樣的點P使△DPC的周長等于△AEP周長的4倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由；
（3）在點P的運動過程中，點E能與點B重合嗎？若能，求出重合時DP的長，若不能，說明理由；
（4）你認為線段FC的長有最大值嗎？有最小值嗎？（直接回答，不必說明理由）

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．

（2）假設(shè)存在滿足條件的點P，設(shè)DP=x，則AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根據(jù)△CDP的周長等于△PAE周長的4倍，得到兩三角形的相似比為4，
∴=4即=4，
解得x=9，
此時DP=9；

（3）在點P的運動過程中，點E能與點B重合，
當(dāng)B，E重合時，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴=，
=，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合時DP的長為2或8；

（4）∵當(dāng)PC與CD越接近重合時，得出FC無限大，
∴線段FC的長沒有最大值，
∵當(dāng)P在AD中點時，F(xiàn)C最小，
∵∠EPC=90°，∴∠DPC+∠APE=90°，
∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠APE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAP∽△PDC，
∴=，
∴=，
∴BE=，
∵BF∥AP，
∴△EBF∽△EAP，
∴=，
∴=，
解得：BF=，
∴FC=10-=，
∴線段FC的長有最小值為．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質(zhì)，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，從而證明△CDP∽△PAE；
（2）假設(shè)存在滿足條件的點P，設(shè)DP=x，則AP=10-x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．
（3）利用當(dāng)B，E重合時，利用已知得出△ABP∽DPC，進而求出DP的長即可；
（4）利用當(dāng)PC與CD越接近重合時，得出FC無限大，當(dāng)P在AD中點時最小得出即可．
點評：此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形的相似性質(zhì)以及線段最值問題，根據(jù)已知得出假設(shè)當(dāng)B，E重合時利用相似三角形的判定得出是解題關(guān)鍵．