Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AD=4，AC=5，求AB．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點(diǎn)；
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答：（1）證明：連接OC，
∵C是⊙O上一點(diǎn)，DC是切線，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又∵AO=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO．
即AC平分∠DAB．
（2）連結(jié)CB．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=90°，
∴△DAC∽△CAB．
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∵AD=4，AC=5
∴AB=

25

4

．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題．