Question

涪陵榨菜是重慶市農(nóng)村經(jīng)濟(jì)中產(chǎn)銷規(guī)模最大、品牌知名度最高、輻射帶動(dòng)能力最強(qiáng)的特色支柱產(chǎn)業(yè)．某知名榨菜企業(yè)為順應(yīng)市場(chǎng)需求推出了“五味榨菜”禮盒，成本為20元/盒．年銷售量y（萬(wàn)盒）與售價(jià)x（元/盒）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
（1）結(jié)合圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）求“五味榨菜”禮盒的年獲利w（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)可以獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
（3）去年，公司一直按照（2）中獲得最大利潤(rùn)時(shí)的售價(jià)進(jìn)行銷售，今年在保持售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，公司發(fā)力品牌營(yíng)銷，決定拿出部分資金進(jìn)行廣告宣傳．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：①每年有11萬(wàn)盒產(chǎn)品供給固定客戶，其余產(chǎn)品全部被潛在客房購(gòu)買；②若廣告投入為a萬(wàn)元，則潛在客戶的購(gòu)買量將是去年購(gòu)買量的m倍，則m=-

1

900

(a-30)2+2；③受公司生產(chǎn)規(guī)模及資金限制，公司的年產(chǎn)量不超過(guò)28萬(wàn)盒，廣告投入不超過(guò)32萬(wàn)元．問(wèn)公司在廣告上投入多少資金可以使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？（利潤(rùn)=總銷售額-總成本-廣告費(fèi)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)（20，40），（30，20），利用待定系數(shù)法求解析式即可．
（2）表示出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用配方法可確定答案；
（3）先求出潛在客戶的購(gòu)買量，根據(jù)②、③的要求可得出a的值，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)確定最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，將點(diǎn)（20，40），（30，20）代入得：

20k+b=40 30k+b=20

，
解得：

k=-2 b=80

，
故y=-2x+80；
（2）w=（x-20）×（-2x+80）=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
當(dāng)x=30時(shí)，w_最大=200．
答：定價(jià)為30元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為200萬(wàn)元．
（3）當(dāng)x=30時(shí)，y=20，則潛在客戶購(gòu)買量為20-11=9萬(wàn)盒，
w=（30-20）×11+（30-20）×9[-

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900

（a-30）²+2]-a
=-

1

10

a²+5a+200
=-

1

10

（a-25）²+262.5，
由題意：11+9[-

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900

（a-30）²+2]≤28，
整理得：（a-30）²≥100，
解（a-30）²=100得：a₁=40，a₂=20，

由圖知0≤a≤20或a≥40，
又∵a≤32，
∴0≤a≤20，
在w=-

1

10

（a-25）²+262.5中，當(dāng)a＜25時(shí)，w隨a的增大而增大，
故當(dāng)a=20時(shí)，w_最大=-

1

10

（20-25）²+262.5=260．
答：當(dāng)廣告費(fèi)為20萬(wàn)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為260萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及配方法求二次函數(shù)最值得知識(shí)，難點(diǎn)在第三問(wèn)，注意先吃透題意，然后再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．