Question

（本題滿分10分）

如圖，將OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M、N以每秒１個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)兩個(gè)動點(diǎn)運(yùn)動了t秒時(shí)，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為　  ；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為     ；(3分)

（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0 < t < 6）；并求t為何值時(shí)，S有最大值？(4分)

（3）試探究：當(dāng)S有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3分)

 

Answer 1

 

（1）（6，4）；（）

（2）當(dāng)時(shí)，S有最大值

（3）存在，在y軸上存在點(diǎn)T1（0，），T2（0，）符合條件

解析:解：（1）（6，4）；（）.（其中寫對B點(diǎn)得1分）  3分

（2）∵S△OMP =×OM×，   4分

∴S =×（6 -t）×=+2t．

   ＝（0 < t <6）． 6分

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值．    7分

（3）存在．

由（2）得：當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），

則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：．

設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：，

解方程組得

∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為．

∵S△OCN ＝×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN＝2．  8分

當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí)，分割出的三角形是△OR1T1，如圖，作R1D1⊥y軸，D1為垂足，則S△OR1T1＝••••RD1•OT ＝••b＝2.

∴，     b =.

∴b1 ＝，b2 ＝（不合題意，舍去）

此時(shí)點(diǎn)T1的坐標(biāo)為（0，）.  9分

② 當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長線上時(shí)，分割出的三角形是△R2NE，如圖，設(shè)MT交CN于點(diǎn)E，由①得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，作R2D2⊥CN交CN于點(diǎn)D2，則

S△R2NE＝•EN•R2D2=••＝2.

∴，b=.

∴b1＝，b2＝（不合題意，舍去）．

∴此時(shí)點(diǎn)T2的坐標(biāo)為（0，）．

綜上所述，在y軸上存在點(diǎn)T1（0，），T2（0，）符合條件．…10分