Question

【題目】已知點(diǎn)A在函數(shù)y1＝－(x＞0)的圖象上，點(diǎn)B在直線y2＝kx＋1＋k(k為常數(shù)，且k≥0)上．若A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)A，B為函數(shù)y1，y2圖象上的一對“友好點(diǎn)”．則這兩個(gè)函數(shù)圖象上的“友好點(diǎn)”對數(shù)的情況為(　　)

A. 有1對或2對 B. 只有1對

C. 只有2對 D. 有2對或3對

Answer 1

【答案】A

【解析】設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B為函數(shù)y1，y2圖象上的一對“友好點(diǎn)”，則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱.

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0, y0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為(-x0, -y0).

由于點(diǎn)A在函數(shù)(x>0)的圖象上，所以將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)y1的解析式，得

，

故點(diǎn)B的坐標(biāo)可以表示為.

由于點(diǎn)B在直線y2=kx+1+k (k為常數(shù)，且k≥0)上，所以將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y2=kx+1+k，得

，①

因?yàn)辄c(diǎn)A在函數(shù)(x>0)的圖象上，所以x0>0，

方程①兩側(cè)同時(shí)乘以x0并整理，得

，②

因?yàn)?/span>k≥0，所以應(yīng)該按以下兩種情況分別對方程②進(jìn)行求解.

(1) 當(dāng)k=0時(shí)，方程②應(yīng)為：，

解之，得 .

故當(dāng)k=0時(shí)，“友好點(diǎn)”為：點(diǎn)A (1, -1)與點(diǎn)B (-1, 1).

(2) 當(dāng)k>0時(shí)，方程②為關(guān)于x0的一元二次方程，利用因式分解法解該一元二次方程，得

，

∴或，

∴或

故當(dāng)k>0時(shí)，“友好點(diǎn)”為：點(diǎn)A (, -k)與點(diǎn)B (-, k)，或點(diǎn)A (1, -1)與點(diǎn)B (-1, 1).

綜上所述，

當(dāng)k=0時(shí)，兩個(gè)圖象有1對“友好點(diǎn)”，“友好點(diǎn)”是：點(diǎn)A (1, -1)與點(diǎn)B (-1, 1)；

當(dāng)k>0且k≠1時(shí)，兩個(gè)圖象有2對“友好點(diǎn)”，它們分別是：點(diǎn)A (, -k)與點(diǎn)B (-, k)，點(diǎn)A (1, -1)與點(diǎn)B (-1, 1)；

當(dāng)k=1時(shí)，兩個(gè)圖象實(shí)際上只有1對“友好點(diǎn)”，“友好點(diǎn)”是：點(diǎn)A (1, -1)與點(diǎn)B (-1, 1).

因此，這兩個(gè)圖象上的“友好點(diǎn)”應(yīng)有1對或者2對.

故本題應(yīng)選A.