【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,拋物線y=ax2+2xa+c經過A(﹣4,0),B(0,4)兩點,與x軸交于另一點C,直線y=x+5與x軸交于點D,與y軸交于點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第二象限拋物線上的一個動點,連接EP,過點E作EP的垂線l,在l上截取線段EF,使EF=EP,且點F在第一象限,過點F作FM⊥x軸于點M,設點P的橫坐標為t,線段FM的長度為d,求d與t之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,過點E作EH⊥ED交MF的延長線于點H,連接DH,點G為DH的中點,當直線PG經過AC的中點Q時,求點F的坐標.
【答案】
(1)
解:把A(﹣4,0),B(0,4)代入y=ax2+2xa+c得 ,解得 ,
所以拋物線解析式為y=﹣ x2﹣x+4;
(2)
解:如圖1,分別過P、F向y軸作垂線,垂足分別為A′、B′,過P作PN⊥x軸,垂足為N,
由直線DE的解析式為:y=x+5,則E(0,5),
∴OE=5,
∵∠PEO+∠OEF=90°,∠PEO+∠EPA′=90°,
∴∠EPA′=∠OEF,
∵PE=EF,∠EA′P=∠EB′F=90°,
∴△PEA′≌△EFB′,
∴PA′=EB′=﹣t,
則d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣(﹣t)=5+t;
(3)
解:如圖2,由直線DE的解析式為:y=x+5,
∵EH⊥ED,
∴直線EH的解析式為:y=﹣x+5,
∴FB′=A′E=5﹣(﹣ t2﹣t+4)= t2+t+1,
∴F( t2+t+1,5+t),
∴點H的橫坐標為: t2+t+1,
y=﹣ t2﹣t﹣1+5=﹣ t2﹣t+4,
∴H( t2+t+1,﹣ t2﹣t+4),
連接PH交y軸于A′,
∴P與H的縱坐標相等,
∴PH∥x軸,
∴∠HPQ=∠PQD,∠PGH=∠QGD,
∵DG=GH,
∴△PGH≌△QGD,
∴PH=DQ,
∵A(﹣4,0),C(2,0),
∴Q(﹣1,0),
∵D(﹣5,0),
∴DQ=PH=4,
∴﹣t+ t2+t+1=4,
t=± ,
∵P在第二象限,
∴t<0,
∴t=﹣ ,
∴F(4﹣ ,5﹣ ).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;(2)如圖1,作輔助線構建兩個直角三角形,利用斜邊PE=EF和兩角相等證兩直角三角形全等,得PA′=EB′,則d=FM=OE﹣EB′代入列式可得結論,但要注意PA′=﹣t;(3)如圖2,根據(jù)直線EH的解析式表示出點F的坐標和H的坐標,發(fā)現(xiàn)點P和點H的縱坐標相等,則PH與x軸平行,證明△PGH≌△QGD,得PH=DQ=4,列式可得t的值,求出t的值并取舍,計算出點F的坐標.也可以利用線段中點公式求出結論.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在下列網格圖中,每個小正方形的邊長均為1個單位.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)試在圖中做出△ABC以A為旋轉中心,沿順時針方向旋轉90°后的圖形△AB1C1;
(2)若點B的坐標為(﹣3,5),試在圖中畫出直角坐標系,并標出A、C兩點的坐標;
(3)根據(jù)(2)的坐標系作出與△ABC關于原點對稱的圖形△A2B2C2 , 并標出B2、C2兩點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點M為DE的中點,過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.
(1)當A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證:M為AN的中點;
(2)將圖1中的△BCE繞點B旋轉,當A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置,此時A,B,M三點在同一直線上.(2)中的結論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1: ,AB=10米,AE=15米.(i=1: 是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)
(1)求點B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
(測角器的高度忽略不計,結果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù): 1.414, 1.732)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∵DE∥BC(已知),∴∠1=____(____),∠2=_______(_____)又∵∠1=∠2(已知),∴∠B=∠C(____),∵∠3=∠B(已知),∴∠3=∠C(_________),∴DF∥AC(______)
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【題目】隨著私家車擁有量的增加,停車問題已經給人們的生活帶來了很多不便.為了緩解停車矛盾,某小區(qū)開發(fā)商欲投資16萬元,建造若干個停車位,考慮到實際因素,計劃露天車位的數(shù)量不少于室內車位的2倍,但不超過室內車位的3倍.據(jù)測算,建造費用及年租金如下表:
類別 | 室內車位 | 露天車位 |
建造費用(元/個) | 5 000 | 1 000 |
年租金(元/個) | 2 000 | 800 |
(1)該開發(fā)商有哪幾種符合題意的建造方案?寫出解答過程.
(2)若按表中的價格將兩種車位全部出租,哪種方案獲得的年租金最多?并求出此種方案的年租金.(不考慮其他費用)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,一螞蟻從原點O出發(fā),按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動,每次移動1個單位.其行走路線如圖.
(1)填寫下列各點的坐標:A4( , ),A8( , );
(2)點A4n﹣1的坐標(n是正整數(shù))為
(3)指出螞蟻從點A2013到點A2014的移動方向.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內部的一個動點,且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為( 。
A.
B.2
C.
D.
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