Question

（2010•武漢）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)H，EN∥DC交BD于點(diǎn)N．下列結(jié)論：
①BH=DH；②CH=；③．
其中正確的是（ ）

A．①②③
B．只有②③
C．只有②
D．只有③

Answer 1

【答案】分析：①如圖，過H作HM⊥BC于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到DH=HM，而在Rt△BHM中BH＞HM，所以容易判定①是錯(cuò)誤的；
②設(shè)HM=x，那么DH=x，由于∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，由此得到∠DBC=45°，而AD∥CB，由此可以證明△ADB是等腰直角三角形，又CE平分∠BCD，∠BDC=∠ABC=90°，由此可以證明△DCH∽△EBC，再利用相似三角形的性質(zhì)可以推出∠BEH=∠DHC，然后利用對(duì)頂角相等即可證明∠BHC=∠BEH，接著得到BH=BE，然后即可用x分別表示BE、EN、CD，又由EN∥DC可以得到△DCH∽△NEH，再利用相似三角形的性質(zhì)即可結(jié)論②；
③利用（2）的結(jié)論可以證明△ENH∽△CBE，然后利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可證明結(jié)論③．
解答：解：①如圖，過H作HM⊥BC于M，
∵CE平分∠BCD，BD⊥DC
∴DH=HM，
而在Rt△BHM中BH＞HM，
∴BH＞HD，
∴所以容易判定①是錯(cuò)誤的；

②∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，
∴∠BEH=∠DHC，
而∠DHC=∠EHB，
∴∠BEH=∠EHB，
∴BE=BH，
設(shè)HM=x，那么DH=x，
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴∠DBC=∠ABD=45°，
∴BH=x=BE，
∴EN=x，
∴CD=BD=DH+BH=（+1）x，
即=+1，
∵EN∥DC，
∴△DCH∽△NEH，
∴=+1，即CH=（+1）EH；

③由②得∠BEH=∠EHB，
∵EN∥DC，
∴∠ENH=∠CDB=90°，
∴∠ENH=∠EBC，
∴△ENH∽△CBE，
∴EH：EC=NH：BE，
而，
∴．
所以正確的只有②③．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，綜合性很強(qiáng)，主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．