在平面直角坐標(biāo)系中給定以下五個(gè)點(diǎn)A(-3,0),B(-1,4),C(0,3),D(,),E(1,0).
(1)請(qǐng)從五點(diǎn)中任選三點(diǎn),求一條以平行于y軸的直線為對(duì)稱軸的拋物線的表達(dá)式;
(2)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸,并畫出草圖;
(3)已知點(diǎn)F(-1,)在拋物線的對(duì)稱軸上,直線y=過(guò)點(diǎn)G(-1,)且垂直于對(duì)稱軸.驗(yàn)證:以點(diǎn)E(1,0)為圓心,EF為半徑的圓與直線y=相切.請(qǐng)你進(jìn)一步驗(yàn)證,以拋物線上的點(diǎn)D(,)為圓心,DF為半徑的圓也與直線y=相切.由此你能猜想到怎樣的結(jié)論2.
解:(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c, 且過(guò)點(diǎn)A(-3,0),C(0,3),E(1,0), 得方程組解得a=-1,b=-2,c=3. 所以拋物線的解析式為y=-x2-2x+3. (2)由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4得頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (-1,4),對(duì)稱軸為x=-1. (3)①連接EF,過(guò)點(diǎn)E作直線y=的垂線,垂足為點(diǎn)N,則EN=HG=. 在Rt△FHE中,HE=2,HF=, 所以EF==. 所以EF=EN. 所以以E點(diǎn)為圓心,EF為半徑的⊙E與直線y=相切. ②連接DF,過(guò)點(diǎn)D作直線y=的垂線,垂足為點(diǎn)M.過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥GH垂足為點(diǎn)Q, 則DM=QG=-==. 在Rt△FQD中,QD=, QF=-==2, FD==. 所以以D點(diǎn)為圓心,DF為半徑的⊙D與直線y=相切. 、垡話佄锞上任意一點(diǎn)P為圓心,以PF為半徑的圓與直線y=相切. 點(diǎn)評(píng):本題(3)問(wèn)中的結(jié)論不唯一,它給定已知條件,但是結(jié)論不確定,解答這類問(wèn)題時(shí),一定要抓住圖象特征多角度展開分析,一定要注意準(zhǔn)確畫圖. |
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a+2 |
k |
2 |
k |
2 |
PM+PN |
NM |
PM-PN |
AM |
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