Question

（2008•莆田）閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，易證△ABP∽△PCD，從而得到BP•PC=AB•CD，解答下列問(wèn)題．
（1）模型探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí)，求證：BP•PC=AB•CD；
（2）拓展應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于點(diǎn)O，以O(shè)為頂點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)O、C重合）
（i）當(dāng)∠APD=60°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（ii）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD，交y軸于點(diǎn)E，設(shè)PO=x，OE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要通過(guò)證△ABP和△PCD相似來(lái)解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它們的補(bǔ)角都相等，進(jìn)而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可證得兩三角形相似，即可得出所求的結(jié)論．
（2）①當(dāng)∠APD=60°，符合了（1）題的條件，因此（1）的結(jié)論在本題適用，可據(jù)此求出BP的長(zhǎng)，然后在直角三角形ABO中求出OB的長(zhǎng)，由此可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②本題要通過(guò)相似三角形進(jìn)行求解．過(guò)D作DM⊥BC于M，可分兩種情況進(jìn)行討論：
（一）：當(dāng)P在OM上時(shí)，PM=OM-OP=5-x，可證△OPE∽△MDP，從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（二）：當(dāng)P在CM上時(shí)，PM=OP-OM=x-5，同樣可證△OPE∽△MDP，從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
解答：（1）證明：∵∠B=∠C=∠APD，
∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠DPC=180°-∠B=180°-∠APD，
∴∠BAP=∠DPC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴BP：CD=AB：PC，
∴BP•PC=AB•CD．

（2）解：①∵∠B=∠C=∠APD=60°，
由（1）知，BP•PC=AB•CD．
∵AB=4，BC=10，CD=6，
設(shè)BP=x，則PC=BC-BP=10-x，
∴x（10-x）=4×6，
整理，得x²-10x+24=0，
解得x=4或6，
即BP=4或6．
在直角△AOP中，∠AOP=90°，∠B=60°，
∴BO=AB•cos60°=2，
∴OP=BP-BO=2或4．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（4，0）；
②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，則CM=3，DM=3，
∴OM=BC-BO-CM=10-2-3=5．
第一種情況：當(dāng)點(diǎn)P在線段OM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3=y：（5-x），
∴y=-x²+x（0＜x≤5）；
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3=y：（x-5），
∴y=x²-x（5＜x＜8）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出與所求相關(guān)的比例線段是解題的關(guān)鍵．